关于“没有备案的公章是否有效”这一问题，需要从多个角度进行详细分析。

首先，从法律效力的角度来看，公章的备案并非是其产生法律效力的唯一条件。公章的有效性主要取决于其是否代表了公司的真实意愿，以及是否在合法、合规的情境下被使用。然而，在实际操作中，备案公章通常被视为公司正式、合法的印章，具有更强的证明力。

接下来，我们结合具体案例来进一步分析。在您提供的案例中，原告赵某持有的借条上加盖的是非备案公章。经过鉴定，该公章与粮油公司在工商档案中留存的印章不是同一枚。法院在审理此案时，认为原告未能提供证据证明粮油公司曾使用过借款手续上加盖的印章，也无法确定原告与粮油公司之间存在民间借贷法律关系。因此，法院未支持原告的诉讼请求。这个案例说明，在涉及法律纠纷时，非备案公章可能面临更大的法律风险和证明难度。

此外，我们还需要关注公章刻制和管理的相关规定。根据相关公告，公安机关已经不再对公章刻制进行审批，也不再出具《刊刻通知单》。但是，这并不意味着公章的刻制和管理可以随意进行。相反，用章企业和单位应该前往已获公安机关许可的公章刻制经营单位办理公章刻制业务。无公章刻制经营资质单位刻制的公章是不受法律承认和保护的。

综上所述，没有备案的公章在法律上并非绝对无效，但其有效性和证明力可能受到质疑，特别是在涉及法律纠纷时。为了确保公章的合法性和有效性，建议用章企业和单位按照相关规定进行公章刻制和备案管理。如果确实需要使用非备案公章，应该确保该公章的使用情境合法、合规，并尽可能保留相关证据以证明其真实性和合法性。

最后，需要强调的是，公章的使用和管理应该严格遵守相关法律法规和规定，以确保公司的合法权益和正常运营。如果您对公章的使用和管理有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时咨询专业律师或相关机构。