结论：关于您已和单位签订了合同到期不续签合同，并谈好了补偿，但突发阑尾炎后合同是否继续的问题，这主要取决于您与单位之间的协商以及合同的具体条款，同时，突发疾病并不直接导致劳动合同的自动延续或终止。

详细分析：

1. 合同到期与续签：

   • 劳动合同到期后，除非双方协商一致续签，否则合同将自然终止。您已与单位明确不续签合同，并谈好了补偿，这表明双方在合同到期问题上已有明确共识。

2. 突发疾病的影响：

   • 突发疾病（如阑尾炎）并不属于劳动合同法中规定的导致劳动合同自动延续或终止的法定情形。因此，从法律层面讲，突发疾病本身并不直接改变您与单位之间关于合同到期不续签的约定。

3. 协商与合同条款：

   • 尽管突发疾病不直接影响合同到期不续签的约定，但您可以与单位进行协商，看是否可以基于人道主义考虑或单位内部政策，给予一定的宽限期或调整补偿方案。
   • 同时，您应仔细审查劳动合同中是否有关于突发疾病或类似情况的特殊条款，这些条款可能会规定在特定情况下合同的处理方式。

4. 法律建议：

   • 与单位协商：首先，建议您与单位进行友好协商，说明您的情况，看是否可以达成一个双方都能接受的解决方案。
   • 了解法律权益：在协商过程中，您可以了解自己在劳动合同法下的权益，包括但不限于经济补偿、医疗期等，以确保自己的权益不受侵害。
   • 准备相关证据：如果协商无果，且您认为自己的权益受到侵害，您可以准备相关证据（如劳动合同、医疗证明、补偿协议等），以便在必要时通过法律途径维护自己的权益。

5. 可能的法律后果：

   • 如果您与单位无法就合同到期不续签及补偿问题达成一致，且您认为自己的权益受到侵害，您可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的权益。但请注意，这通常需要一定的时间和成本，且结果具有不确定性。

总结与建议：

• 突发疾病并不直接导致劳动合同的自动延续或终止，您与单位之间关于合同到期不续签的约定仍然有效。
• 建议您与单位进行友好协商，看是否可以达成一个双方都能接受的解决方案。
• 如果协商无果，且您认为自己的权益受到侵害，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。在此过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。