虚假诉讼罪一般由犯罪地或者被告人居住地的公安机关管辖，后续案件会移送至检察机关审查起诉，并由法院进行审判。以下是对此问题的详细分析：

一、公安机关的管辖权

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释，刑事案件的侦查一般由犯罪地或者被告人居住地的公安机关负责。虚假诉讼罪作为一种刑事犯罪，其侦查工作同样遵循这一原则。犯罪地包括犯罪行为发生地和犯罪结果发生地，对于虚假诉讼罪而言，通常指的是虚假诉讼行为实施地或者虚假诉讼结果发生地，如法院所在地等。被告人居住地则是指被告人的户籍所在地或者经常居住地。

二、检察机关的审查起诉

公安机关在侦查终结后，会将案件移送至检察机关进行审查起诉。检察机关会对案件进行全面审查，包括证据的合法性、充分性以及犯罪事实的认定等。如果检察机关认为案件符合起诉条件，会向法院提起公诉，要求法院对被告人进行审判。

三、法院的审判权

法院作为审判机关，负责审理检察机关提起的公诉案件。在虚假诉讼罪案件中，法院会根据事实和法律，对被告人是否构成虚假诉讼罪进行审判，并作出相应的判决。如果被告人被认定构成虚假诉讼罪，法院会依法判处相应的刑罚。

四、特殊情况下的管辖

在某些特殊情况下，如虚假诉讼罪涉及多个地区或者被告人居住地不明确等，可能会由上级公安机关指定管辖或者由共同的上级法院指定审判。此外，如果虚假诉讼罪与职务犯罪等存在牵连关系，可能会由监察机关与公安机关分别管辖或者合并管辖。

五、法律建议

1. 及时报案：如果发现有人涉嫌虚假诉讼罪，应及时向当地公安机关报案，并提供相关证据材料。
2. 配合调查：在公安机关侦查过程中，应积极配合调查工作，如实提供证言和证据。
3. 关注案件进展：可以关注案件的侦查、审查起诉和审判进展，了解案件的处理情况。

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