面对老人住院后失踪，一个月后遗体被发现这样的不幸事件，家属无疑会经历巨大的悲痛和困惑。以下是我为您详细梳理的应对步骤和法律考量：

一、立即报警并通知医院

1. 报警：一旦发现老人失踪，应立即向当地警方报案，提供老人的详细信息、失踪时间、地点以及可能的去向，以便警方迅速展开搜寻工作。
2. 通知医院：同时，应尽快通知医院，要求医院协助查找，并调取监控录像等可能有助于找到老人的线索。

二、配合警方和医院调查

1. 提供线索：家属应积极向警方和医院提供任何可能有助于找到老人的线索，如老人平时的习惯、可能去的地方等。
2. 参与搜寻：在警方和医院的组织下，家属可以参与搜寻工作，扩大搜寻范围，提高找到老人的可能性。

三、遗体发现后的处理

1. 确认遗体：当遗体被发现时，家属应尽快前往现场确认，并配合警方进行身份确认和死因调查。
2. 了解死因：如果警方排除了他杀，家属可以要求了解老人的具体死因，以便更好地处理后续事宜。
3. 处理遗体：家属应与医院和殡仪馆协商处理遗体的相关事宜，包括遗体的运送、火化或埋葬等。

四、法律责任与赔偿

1. 医院责任：根据《民法典》的相关规定，医疗机构作为公共经营性场所，对住院患者负有安全保障义务。如果医院在管理上存在漏洞，如闲置区域管控缺位、搜寻范围存在疏漏等，导致老人失踪并最终死亡，医院可能需要承担一定的侵权责任。
2. 赔偿诉求：家属可以向医院提出赔偿诉求，包括丧葬费、死亡赔偿金、精神损害抚慰金等。具体赔偿金额需要根据实际情况和法律规定进行核算。
3. 法律程序：如果家属与医院无法就赔偿事宜达成一致，可以通过法律途径解决纠纷。可以咨询专业律师，了解相关法律规定和诉讼程序，准备相关证据材料，向法院提起诉讼。

五、心理支持与辅导

1. 寻求心理支持：面对这样的不幸事件，家属可能会经历巨大的心理创伤。可以寻求专业的心理支持或辅导，帮助自己和家人度过难关。
2. 互相支持：家属之间应相互支持、理解和鼓励，共同面对困难，共同走出阴影。

六、预防措施与建议

1. 加强医院管理：医院应加强对住院患者的管理和监护，特别是对于老年患者和行动不便的患者，应采取更加严密的管理措施，确保患者的安全。
2. 提高家属意识：家属也应提高安全意识，加强对老人的看护和照顾，避免类似事件再次发生。
3. 完善法律法规：政府和相关机构应完善相关法律法规，明确医疗机构的安全保障义务和赔偿责任，为患者和家属提供更加有力的法律保障。

总之，面对老人住院后失踪并最终发现遗体的不幸事件，家属应保持冷静、积极应对，配合警方和医院的调查工作，了解法律责任与赔偿事宜，并寻求心理支持和辅导。同时，也应从中吸取教训，加强预防措施，避免类似事件再次发生。