当政府拖欠农民工工资时，向当地人力资源和社会保障部门（劳动监察机构）投诉举报是最快最有效的途径。以下是从不同角度为你详细分析的解决方案：

一、首选投诉举报部门：人力资源和社会保障部门（劳动监察机构）

• 职责与优势：劳动监察机构是专门负责劳动保障执法的行政部门，有权对用人单位遵守劳动法律法规情况进行监督检查，并依法处理拖欠工资等违法行为。其具备行政强制力，可直接介入调查并要求限期支付工资。若用人单位逾期不支付，劳动监察机构还可以加付赔偿金，并依法进行处罚。
• 操作流程：
  • 准备材料：携带身份证、劳动合同、考勤记录、工资条等证据材料。
  • 投诉方式：前往用工所在地或单位注册地的劳动监察大队现场投诉，或通过12333热线电话、全国根治欠薪线索反映平台在线提交诉求。

二、其他有效维权途径

1. 申请劳动仲裁

   • 适用情形：若劳动监察机构处理后仍未解决，或认为需通过法律程序确认劳动关系及工资金额时，可向劳动争议仲裁委员会提起仲裁。
   • 注意事项：需在知道权利被侵害之日起一年内提出书面申请，并提交相关证据材料。仲裁裁决具有法律效力，若用人单位不履行，可向法院申请强制执行。

2. 提起诉讼

   • 法律依据：根据《保障农民工工资支付条例》第十条，农民工可依法向人民法院申请支付令或直接起诉。
   • 实施要点：需准备完整证据链，证明劳动关系及欠薪事实，通过司法程序追讨工资。若对仲裁结果不满意或用人单位不履行仲裁裁决，也可以向人民法院提起诉讼。

3. 法律援助与工会支持

   • 法律援助：经济困难者可向当地法律援助中心申请免费律师服务，降低维权成本。
   • 工会协助：加入工会的农民工可通过工会组织协商调解，借助集体力量维护权益。工会可以代表农民工与用人单位沟通协商，推动问题解决。

三、关键行动提示

• 保留证据：妥善保存劳动合同、考勤记录、工资单、工作证等材料，形成完整证据链。这些证据在投诉、仲裁或诉讼过程中都至关重要。
• 及时行动：发现欠薪后尽快投诉举报，避免超过法定时效。劳动争议申请仲裁的时效期间通常为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。
• 多渠道跟进：可同时向劳动监察机构、信访部门反映问题，形成维权合力。在维权过程中，保持与相关部门的沟通联系，及时了解处理进展。

四、特殊情形处理

• 建筑行业：在建筑行业工作的农民工，若遇到工资拖欠问题，还可以向项目所在地的建设领域清欠办反映情况。清欠办由政府相关部门联合组成，专门解决拖欠农民工工资等问题，具有协调各方资源、统筹处理复杂问题的能力。

总结与建议：

政府拖欠农民工工资时，应首先向劳动监察机构投诉举报，这是最快速且直接的方式。若问题未得到解决，可以依次考虑向劳动争议仲裁委员会申请仲裁、向人民法院提起诉讼，并向工会和法律援助中心寻求帮助。在整个过程中，保留好证据并注意时效问题是关键。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。