结论：工厂在特定情况下可以解除与这位老员工的劳动关系，但必须遵循严格的法律程序和条件。

分析说明：

1. 无固定期限劳动合同的性质：

   • 无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。这种合同并不意味着劳动者可以永远在该单位工作，而是指在没有法定或约定的情况下，合同不会自动终止。

2. 工厂解除劳动关系的合法情形：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，工厂在以下情况下可以解除与劳动者的劳动关系：
     • 劳动者严重违反用人单位的规章制度的；
     • 劳动者严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
     • 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
     • 劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的；
     • 劳动者被依法追究刑事责任的；
     • 劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；
     • 劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；
     • 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。

3. 针对老员工的具体情况：

   • 这位老员工已经在工厂工作了十二年，并签订了无固定期限劳动合同。这并不意味着工厂不能解除劳动关系，但解除的理由必须合法且充分，且需要遵循严格的法律程序。
   • 如果工厂没有合法且充分的理由，或者未遵循法律程序，就随意解除与老员工的劳动关系，那么工厂可能构成违法解除，需要承担相应的法律责任。

4. 法律后果：

   • 如果工厂违法解除劳动关系，老员工有权要求工厂继续履行劳动合同，或者要求工厂支付赔偿金。赔偿金的计算通常基于劳动者在用人单位的工作年限和工资水平。

建议与行动：

• 对于工厂：在考虑解除与老员工的劳动关系时，务必确保解除理由合法且充分，并遵循严格的法律程序。如果可能，建议与老员工进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。
• 对于老员工：如果工厂提出解除劳动关系，且你认为解除理由不合法或不充分，或者工厂未遵循法律程序，你可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。

额外思考：

• 在处理此类劳动纠纷时，双方都应保持冷静和理性，通过协商或法律途径解决问题，避免情绪化的冲突和不必要的法律纠纷。
• 工厂在制定和执行规章制度时，应确保规章制度的合法性和合理性，避免因为规章制度的问题而引发劳动纠纷。

如有任何进一步的问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。