结论前置：肇事司机撞死人后自杀，其家人是否需要承担赔偿责任，主要取决于他们是否继承了肇事司机的遗产、事故责任认定情况，以及是否存在其他赔偿义务人（如保险公司）。以下是对这一问题的详细分析：

1. 遗产与继承的法律规定

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，如果肇事司机留有遗产，并且其家人选择继承这些遗产，那么继承人需以所得遗产实际价值为限，清偿被继承人（即肇事司机）依法应当承担的债务，这包括因交通事故产生的赔偿责任。若遗产价值不足以清偿全部债务，超出部分除非继承人自愿偿还，否则无需负责。
   • 若肇事司机的家人明确表示放弃继承遗产，则他们对肇事司机因交通事故所产生的赔偿债务可以不负清偿责任。这种放弃继承的意愿应当以书面形式作出表示，以确保其法律效力。

2. 事故责任的认定

   • 事故责任的认定是决定赔偿金额和责任分配的关键因素。如果肇事司机在事故中负有全部或主要责任，并且导致了他人死亡，那么其需要承担的赔偿责任会相应增加。这种责任并不会因为司机的自杀而消失，而是可能由其遗产来承担，或者由其他责任人（如保险公司）根据保险条款进行赔付。

3. 保险公司的角色

   • 如果肇事车辆购买了机动车第三者责任强制保险或其他相关保险，那么首先应由保险公司在保险责任限额范围内对受害者进行赔偿。这可以大大减轻肇事司机及其家人的经济负担。不足的部分，才会涉及肇事司机及其家人的赔偿责任问题。

4. 实际操作中的考虑

   • 在实际操作中，受害者家属可以通过法律程序来寻求赔偿，包括起诉肇事司机的遗产继承人、保险公司或其他相关责任人。法院会根据事实和法律规定来判决赔偿责任和赔偿金额，确保受害者的合法权益得到保障。
   • 同时，家属在处理这类问题时，也应注意保留好相关证据，如事故认定书、医疗记录、保险单等，以便在法律程序中证明自己的权益。

法律建议：

• 对于受害者家属而言，如果遭遇此类情况，首先应保持冷静，及时收集并保存好相关证据。
• 其次，可以寻求专业律师的帮助，了解自己的法律权益和可能的赔偿途径。
• 最后，根据法律程序和判决结果，合理主张自己的赔偿请求。

可能法律后果：

• 如果肇事司机的家人继承了遗产，并且遗产价值足以清偿债务，那么他们可能需要承担相应的赔偿责任。
• 如果肇事司机的家人放弃了继承权，或者遗产价值不足以清偿债务，那么他们可能无需承担赔偿责任，或者只需承担部分责任。
• 保险公司将根据保险条款和事故责任认定情况，在保险责任限额范围内进行赔付。

综上所述，肇事司机撞死人后自杀，其家人是否需要承担赔偿责任是一个复杂的问题，需要考虑多个因素的综合影响。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。