在劳动仲裁案件中，若一方申请撤销仲裁案件，另一方通常不能直接在该撤销程序中提反诉，但可以在后续可能的诉讼程序中提出相关请求。以下是对此问题的详细分析：

一、劳动仲裁撤销程序与反诉的关系

1. 撤销程序性质：劳动仲裁撤销程序是对已经作出的仲裁裁决进行合法性审查的程序。当一方认为仲裁裁决存在法定撤销情形时，可以向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。

2. 反诉的定义：反诉是指在已经开始的诉讼或仲裁程序中，被告针对原告提出的与本诉有牵连的独立的反请求。它要求本诉的被告以本诉的原告为被告，向受理本诉的法院提出与本诉有牵连的、旨在抵销或吞并本诉原告诉讼请求的独立的反请求。

3. 撤销程序中不能提反诉：在劳动仲裁撤销程序中，由于该程序主要是对仲裁裁决的合法性进行审查，而不是对原仲裁案件进行重新审理，因此被告（即申请撤销裁决的一方）不能在该程序中提出反诉。反诉通常需要在原仲裁或诉讼程序中提出，或者在撤销裁决后，根据具体情况在后续的诉讼程序中提出。

二、后续可能的诉讼程序与反诉

1. 撤销裁决后的诉讼：如果仲裁裁决被撤销，那么原仲裁双方当事人之间的争议将回到未解决状态。此时，任何一方都可以向人民法院提起诉讼，以解决争议。

2. 在诉讼中提反诉：在后续的诉讼程序中，如果被告认为原告也应对其承担某种责任或提出某种请求，那么被告可以在诉讼中提出反诉。反诉的提出需要符合法律规定的条件，如与本诉有牵连、属于同一法院管辖等。

三、法律建议

1. 及时咨询专业律师：对于劳动仲裁撤销程序及后续可能的诉讼程序，建议当事人及时咨询专业律师，以了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果。

2. 准备相关证据：无论是在撤销程序中还是在后续的诉讼程序中，证据都是至关重要的。当事人应提前准备相关证据，以支持自己的主张或反驳对方的主张。

3. 注意程序时效：劳动仲裁和诉讼程序都有严格的时效规定。当事人应注意程序时效，避免因超过时效而丧失权利。

总结来说，在劳动仲裁案件中，若一方申请撤销仲裁案件，另一方通常不能直接在该撤销程序中提反诉。但如果在撤销裁决后，双方之间的争议需要通过诉讼解决，那么被告可以在诉讼中提出反诉。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。