爷爷立的遗赠书申请公证的流程如下：

1. 准备材料：

   • 遗赠书原件：确保遗赠书内容完整、清晰，无涂改痕迹，且已由爷爷本人签字并注明日期。
   • 身份证明：爷爷的身份证、户口簿等有效身份证明文件。
   • 财产证明：遗赠书中涉及的财产权属证明，如房产证、银行存款证明、车辆登记证等。
   • 受遗赠人身份证明：受遗赠人的身份证、户口簿等有效身份证明文件。
   • 关系证明：如爷爷与受遗赠人的亲属关系证明（如出生证明、户口簿等），若非亲属关系，则需提供其他能证明关系存在的文件。
   • 公证申请表：在公证处领取并填写公证申请表，详细说明公证事项及目的。

2. 预约公证：

   • 联系当地公证处，了解公证所需的具体材料清单及公证费用，并预约公证时间。

3. 前往公证处办理：

   • 在预约的时间，爷爷（或其合法代理人，如爷爷因身体原因无法亲自前往，可委托他人代为办理，但需提供有效的委托书及代理人的身份证明）携带上述准备好的材料前往公证处。
   • 在公证员面前，爷爷需确认遗赠书的内容是其真实意思表示，并签署公证申请表及相关文件。
   • 公证员会对遗赠书的内容进行审查，确认其合法性、有效性，并询问爷爷及受遗赠人相关情况，制作公证笔录。

4. 缴纳公证费用：

   • 根据公证处的规定，缴纳相应的公证费用。费用标准可能因地区及公证事项的不同而有所差异。

5. 领取公证书：

   • 公证处会在一定时间内（通常为几个工作日）出具公证书。爷爷或其代理人可凭有效身份证明及缴费凭证前往公证处领取公证书。

注意事项：

• 遗赠书的内容必须合法、有效，不得违反法律、行政法规的强制性规定，不得损害社会公共利益和他人合法权益。
• 爷爷在立遗赠书时，应确保具有完全民事行为能力，且遗赠书的内容是其真实意思表示。
• 若遗赠书涉及多处财产或复杂法律关系，建议爷爷在立遗赠书前咨询专业律师，以确保遗赠书的合法性和有效性。
• 公证过程中，爷爷及受遗赠人应如实回答公证员的询问，提供真实、准确的材料和信息。

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