核心结论：撰写派出所无故拖延案件申请书时，需明确诉求、事实依据和法律依据，以下是一份申请书的框架及要点说明，你可以根据实际情况调整内容。

1. 申请书的基本框架

标题：关于请求督促XX派出所依法处理XX案件的申请书

申请人信息：姓名、性别、年龄、身份证号、联系方式、住址等。

被申请人信息：XX派出所（全称）、地址、负责人姓名（如知晓）。

申请事项：明确请求派出所加快处理案件的具体诉求，例如：“请求督促XX派出所依法对XX案件（案号/简要案情）进行调查处理，并出具书面处理结果。”

事实与理由：

• 案件背景：简要说明案件发生的时间、地点、涉及人员及基本情况。
• 拖延事实：列举派出所拖延处理的具体表现，如未在法定期限内立案、未开展调查、未出具书面答复等，并附上相关证据（如报案回执、沟通记录、证人证言等）。
• 法律依据：引用《中华人民共和国治安管理处罚法》《公安机关办理行政案件程序规定》等相关条款，说明派出所的法定职责及拖延处理的违法性。
• 社会影响：如案件拖延对申请人生活、工作造成的影响，或引发其他社会问题（如矛盾激化、证据灭失等）。

结尾：重申申请事项，表达对依法处理的期望，并注明申请人签名、日期。

2. 撰写时的注意事项

1. 保持客观理性：避免情绪化表述，聚焦事实和法律，增强申请书的说服力。
2. 证据充分：附上所有能证明派出所拖延的证据，如报案回执、书面答复（或无答复的证明）、沟通记录等。
3. 明确诉求：申请事项需具体、可操作，如“要求派出所于XX日内立案调查”或“出具书面处理意见”。
4. 法律引用准确：确保引用的法律条款与案件性质、派出所职责匹配，避免错误引用。
5. 格式规范：使用正式文书格式，语言简洁、逻辑清晰，避免冗长或模糊表述。

3. 示例片段（供参考）

事实与理由：
申请人于2023年XX月XX日向XX派出所报案，称遭遇XX（简要案情）。派出所受理后，至今未开展调查，亦未出具书面立案或不予立案通知。根据《公安机关办理行政案件程序规定》第六十一条，公安机关对报案应当及时受理，并进行登记；对属于本单位管辖范围内的案件，应当立即调查处理。派出所的行为已违反法定程序，导致申请人权益持续受损。

申请事项：

1. 请求XX派出所立即对XX案件展开调查，并书面告知处理进度；
   
2. 如不予立案，请出具书面不予立案通知书并说明理由。
   

4. 后续建议

• 提交方式：建议通过邮寄（留存邮寄凭证）或直接递交至派出所，并要求对方出具接收回执。
• 跟进处理：若派出所仍未回应，可向其上级公安机关（如区分局、市公安局）申请复议，或通过行政诉讼途径维权。
• 法律援助：如对程序不熟悉，可进一步向我咨询具体操作细节或法律意见。

如有其他疑问或需要进一步帮助，欢迎随时向我提问！