结论：私家车上带斧头是否违法，主要取决于具体情境和使用意图。在没有违法犯罪行为且不影响公共安全的前提下，私家车内部携带斧头一般不被视为违法。

详细分析：

1. 斧头的法律定位：

   • 斧头并未被公安部明确列为管制刀具，与匕首、三棱刮刀等具有较大危险性的刀具不同。因此，从法律层面看，斧头在私家车内的携带相对宽松。

2. 合法携带情境：

   • 正常工作需要：如木工等专业人员为工作需要，将斧头放在车内前往工作地点，这种情况通常被视为合法。
   • 私家车内部携带：在一般情况下，如果只是在私家车内部携带斧头，且没有使用它进行违法犯罪行为的意图，那么这种行为通常不被视为违法。但应确保斧头妥善存放，避免引起不必要的误会或恐慌，比如可以将其固定在车内某个位置，防止在行驶过程中滑动或掉落。

3. 违法携带情境：

   • 危及公共安全：若携带斧头进入公共场所或公共交通工具，并因此危及公共安全，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，可能会构成非法携带危险物品危及公共安全罪。特别是在人员密集场所或敏感区域（如政府机关、学校、商场等），携带斧头可能对他人安全构成威胁，会面临相应的法律责任。
   • 有犯罪意图：如果携带斧头有实施犯罪的主观故意，如准备用斧头进行抢劫、伤害他人等犯罪活动，无论斧头放在何处，都属于违法犯罪预备行为，会被依法追究法律责任。

4. 地区差异与特殊规定：

   • 不同地区对于这类物品的管理规定可能存在差异。例如，某些地区可能出于安全考虑，对携带斧头等具有一定危险性的物品有更为严格的规定。因此，在实际判定中，还需结合具体行为和当地法律规定进行综合判断。

5. 安全建议：

   • 出于公共安全和个人安全的考虑，即使在某些情况下车上放斧头可能不违法，也不建议在车内长期放置此类危险物品。如果确实有需要携带的情况，应确保物品的安全存放，并尽量避免在公共场所或公共交通工具上携带。

法律依据：

• 虽然直接针对私家车上带斧头的法律条款可能并不明确，但可以根据《中华人民共和国刑法》中关于非法携带危险物品危及公共安全罪的相关规定，以及《中华人民共和国治安管理处罚法》中关于非法携带管制器具的规定进行类比和推断。

总结与建议：

• 私家车上带斧头是否违法，需根据具体情境和使用意图来判断。
• 在没有违法犯罪行为且不影响公共安全的前提下，私家车内部携带斧头一般不被视为违法。
• 但为了自身和他人的安全考虑，应谨慎处理此类物品的携带和存放问题。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。