在公司辞退员工，特别是进行经济性裁员的情况下，需要向相关部门备案的情形主要遵循《中华人民共和国劳动法》、《中华人民共和国劳动合同法》以及《企业经济性裁减人员规定》等相关法律法规。以下是对这一问题的详细解答：

一、经济性裁员的定义与条件

经济性裁员是指企业因特定经济原因，如破产重整、生产经营严重困难、转产或重大技术革新等，需要一次性裁减较多人员（通常指20人以上或裁减不足20人但占企业职工总数的10%以上）的行为。

二、需要备案的情形

1. 符合经济性裁员条件：

   • 企业依照企业破产法规定进行重整的；
   • 生产经营发生严重困难的，需提交会计师事务所的审计报告以证明；
   • 企业转产、重大技术革新或者经营方式调整，经变更劳动合同后，仍需裁减人员的；
   • 其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行的。

2. 履行法定程序：

   • 企业应提前三十日向工会或者全体职工说明情况，并提供有关生产经营状况的资料；
   • 提出裁减人员方案，包括被裁减人员名单、裁减时间及实施步骤、经济补偿办法等；
   • 将裁减人员方案征求工会或者全体职工的意见，并对方案进行修改和完善；
   • 向当地劳动行政部门（通常是人力资源和社会保障部门）报告裁减人员方案以及工会或者全体职工的意见，并听取劳动行政部门的意见。

3. 实施裁员并备案：

   • 经劳动行政部门通过后，企业正式公布裁减人员方案，与被裁减人员办理解除劳动合同手续，支付经济补偿金，并出具裁减人员证明书；
   • 企业需将裁员相关资料报劳动行政部门备案，以完成整个裁员流程。

三、备案所需材料

企业在申请经济性裁员备案时，通常需要提交以下材料：

• 企业经济性裁员的相关证明资料（如破产重整裁定书、审计报告等）；
• 企业向劳动行政部门提交的经济性裁员的书面报告；
• 经济性裁员企业有上级主管部门或单位的，需提交主管部门或单位的批复；
• 经济性裁员企业的职工经济补偿方案；
• 企业提前30日书面向工会或职工说明情况的相关资料；
• 企业工会对裁员的书面意见（没有工会的企业，应提交被裁员职工签名的书面意见）；
• 企业解除劳动合同职工花名册。

四、注意事项

• 企业在裁员过程中应严格遵守法律法规，确保裁员行为的合法性和合理性；
• 企业应积极与工会或职工沟通，听取他们的意见和建议，确保裁员方案的公平性和透明度；
• 企业应及时向劳动行政部门报告裁员情况，并按照要求提交相关材料进行备案。

综上所述，公司在进行经济性裁员时，若符合上述条件并履行了法定程序，就需要向相关部门（通常是人力资源和社会保障部门）进行备案。这一流程旨在保护劳动者的合法权益，确保裁员行为的合法性和规范性。