结论：原被告双方达成和解协议后，法院是否下判决书取决于和解的具体情况以及当事人的选择。

详细分析：

1. 和解后申请撤诉的情况：

   • 如果双方在诉讼过程中达成和解，并且原告选择向法院申请撤诉，那么法院在审查撤诉申请后，如果认为符合撤诉条件，会作出准予撤诉的裁定书，而不是判决书。
   • 在这种情况下，由于诉讼已经终结，法院不会对案件进行实体审理，因此不会出具判决书。

2. 和解后申请法院出具调解书的情况：

   • 如果双方达成和解，但希望法院对和解内容进行确认，并赋予其强制执行力，那么可以向法院申请出具调解书。
   • 法院在审查和解协议后，如果认为协议内容合法、自愿，且不损害国家、集体和第三人利益，会出具调解书。调解书与判决书具有同等法律效力，一旦送达即生效，当事人必须履行。

3. 和解后继续诉讼并请求法院判决的情况：

   • 虽然双方达成了和解协议，但如果一方或双方希望法院对案件进行实体审理，并作出具有法律约束力的判决，那么可以继续诉讼，并请求法院作出判决书。
   • 然而，在实际情况中，如果双方已经达成和解，通常不会再选择继续诉讼并请求法院判决，因为这会增加诉讼成本和时间成本。

特殊情况说明：

• 在某些情况下，即使双方达成了和解协议，法院也可能根据案件的具体情况或法律的规定，主动对案件进行审理并作出判决。但这种情况相对较少，且通常涉及公共利益、社会秩序等特殊因素。

建议：

• 如果双方在诉讼过程中达成和解，建议根据具体情况选择合适的方式处理。如果希望快速解决纠纷并降低诉讼成本，可以选择申请撤诉或申请法院出具调解书；如果希望法院对和解内容进行确认并赋予其强制执行力，可以选择申请法院出具调解书；如果双方对和解协议的内容存在争议或希望法院对案件进行实体审理，可以继续诉讼并请求法院作出判决。

后续行动：

• 如果你在处理合同纠纷时遇到了类似情况，或者对诉讼管辖、和解协议等法律问题有疑问，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供专业的法律建议和帮助。