结论是，医院通常不会直接将亲子鉴定的检查报告结果告知打电话询问的父亲，除非有母亲的明确授权或符合法律规定的特定情形。以下从几个角度详细分析：
一、医院及鉴定机构的保密义务
医院和专业的亲子鉴定机构都负有严格的保密义务，这是基于对患者隐私权的保护。亲子鉴定结果属于个人隐私信息，未经本人同意，医院或鉴定机构不得随意向第三方透露。因此，在没有母亲明确授权的情况下，医院不会将鉴定结果告知父亲。
二、母亲作为鉴定申请人的权利
在亲子鉴定中，母亲作为鉴定申请人，对鉴定过程和结果享有知情权和控制权。她可以选择是否将鉴定结果告知父亲，以及告知的方式和时间。如果母亲希望父亲知道鉴定结果，她可以主动向父亲提供，或者授权医院或鉴定机构向父亲透露。
三、法律规定的特定情形
虽然一般情况下医院不会透露鉴定结果，但在某些特定情形下，如涉及法律诉讼、刑事案件等，法院或相关执法机构可能根据法律程序要求医院或鉴定机构提供鉴定结果。然而，这种情况需要严格的法律程序和授权，不是父亲简单打电话询问就能获得的。
四、实际操作中的建议
母亲应明确告知意愿：如果母亲希望父亲知道鉴定结果，她应该主动与父亲沟通，并明确告知其鉴定结果。这样可以避免不必要的误会和纠纷。
父亲应尊重母亲意愿：如果母亲不希望父亲知道鉴定结果，父亲应该尊重母亲的意愿，不要试图通过不正当手段获取鉴定结果。尊重隐私是维护家庭和谐的重要基础。
寻求法律帮助：如果双方在鉴定结果的告知问题上存在争议，可以寻求法律帮助。律师可以提供专业的法律意见，帮助双方协商解决争议，或者通过法律程序解决纠纷。
在处理这类敏感问题时，建议双方保持冷静和理性，通过沟通协商解决问题。如果有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见。