核心结论：若课程分期付款逾期后申请退课遭拒，可先核查合同条款，再通过协商、投诉或诉讼等途径解决，具体如下：

1. 核查合同条款
   • 查看退课规定：仔细研读当初签订的课程分期付款合同，重点关注其中关于退课的条款。有些合同会明确规定在特定条件下可以退课，比如在学习进度达到一定比例之前、在某个特定时间段内等；而有些合同可能对退课有严格限制甚至不允许退课。如果合同中有明确的退课条款且你符合条件，那么商家拒绝退课就属于违约行为。
   • 审视逾期影响：同时，要查看合同中对于分期付款逾期的处理规定。有些合同可能规定，一旦逾期，商家有权采取一定措施，包括但不限于暂停课程服务、收取逾期费用等，但并不一定直接剥夺你退课的权利。如果合同没有明确规定逾期就不能退课，那么商家以此为由拒绝退课就缺乏合同依据。
2. 与商家协商
   • 沟通解释情况：在核查合同条款后，主动与商家进行沟通，向他们解释你逾期付款的原因以及你希望退课的诉求。例如，你可能因为突发疾病、失业等不可抗力或意外情况导致逾期付款，并且现在确实无法继续学习该课程。在沟通时，要保持冷静和理性，以诚恳的态度表达自己的想法。
   • 提出合理方案：可以根据自己的实际情况，向商家提出合理的退课方案。比如，愿意承担一定的违约金或手续费，以换取商家同意退课。这样既体现了你的诚意，也增加了协商成功的可能性。
3. 向相关部门投诉
   • 消费者协会：如果与商家协商无果，你可以向当地的消费者协会投诉。消费者协会是依法成立的对商品和服务进行社会监督的保护消费者合法权益的社会组织。你可以向他们提供详细的合同、付款记录、与商家的沟通记录等证据，说明商家拒绝退课的情况，消费者协会会根据具体情况进行调查和调解，促使商家解决问题。
   • 教育主管部门：如果该课程属于教育培训范畴，你还可以向当地的教育主管部门投诉。教育主管部门有权对教育培训机构进行监管，对于商家违反合同约定或相关法律法规的行为，会进行相应的处理和纠正。
4. 通过法律途径解决
   • 发送律师函：如果投诉未能解决问题，你可以考虑委托律师向商家发送律师函。律师函是一种正式的法律文件，具有威慑作用，它可以明确告知商家其行为可能面临的法律后果，促使商家重视你的诉求并积极解决问题。
   • 提起诉讼：若商家仍然拒绝退课，你可以向法院提起诉讼。在诉讼过程中，你需要提供充分的证据来证明自己的主张，如合同、付款凭证、与商家的沟通记录等。法院会根据事实和法律规定进行判决，如果判决商家退课，商家就必须履行相应的义务。