不签合同也可以开发票，且在一定条件下是合法的。以下从不同角度进行分析：

1. 发票开具的法律规定
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。该规定并未将签订合同作为开具发票的前提条件，因此即使未签订书面合同，只要实际发生了经营业务并收取款项，收款方就有义务开具发票。

2. 合同与发票的关系
   合同是双方约定权利义务的书面文件，而发票是交易发生的财务凭证。二者在法律上属于不同范畴：

   • 合同用于证明交易关系的存在及内容（如标的、价格、履行方式等）；
     
   • 发票用于证明款项收付及税务合规性。
     实践中，口头合同或事实合同（如即时结清的交易）同样受法律保护，此时发票可作为交易存在的辅助证据。

3. 未签合同开发票的合法性边界
   需满足以下条件才合法：

   • 交易真实性：必须存在实际经营业务（如销售货物、提供劳务），不得虚开发票；
     
   • 税务合规性：需按实际交易金额、税率开具发票，并依法申报纳税；
     
   • 证据留存：建议保留交易记录（如送货单、对账单、付款凭证等），以备税务稽查或纠纷时使用。

4. 风险提示

   • 若未签合同且未保留交易证据，一旦发生纠纷（如付款争议、质量纠纷），可能面临举证困难；
     
   • 虚开发票（如无实际交易或金额不实）属于违法行为，可能面临税务处罚甚至刑事责任。

建议：

• 即使无需签订书面合同，也建议通过书面形式确认交易关键条款（如微信、邮件记录）；
  
• 开发票时确保交易真实、金额准确，并完整保存相关凭证；
  
• 若对交易合法性或税务处理有疑问，可直接向我咨询具体场景下的风险防范措施。