针对您描述的情况，核心结论是：在家人两次被打伤并报警后，公安机关应当依法立案侦查，追究打人者的法律责任，同时您和家人可以要求赔偿医疗费等损失。 以下是具体分析：

1. 公安机关的职责与处理流程

• 及时出警与调查：根据《治安管理处罚法》或《刑法》，公安机关接到报警后应立即出警，对现场进行勘验、询问证人、调取监控等，固定证据（如伤情照片、医疗记录、证人证言等）。
• 伤情鉴定：若家人受伤，应要求公安机关委托法医进行伤情鉴定。若鉴定为轻伤及以上，打人者可能涉嫌故意伤害罪（《刑法》第234条），需追究刑事责任；若为轻微伤，则可能面临行政处罚（《治安管理处罚法》第43条）。
• 立案与侦查：若构成犯罪，公安机关应立案侦查，查清事实后移送检察院审查起诉；若不构成犯罪，则依法作出行政处罚（如拘留、罚款）。

2. 您和家人的权利与救济途径

• 要求赔偿损失：根据《民法典》第1179条，打人者需赔偿医疗费、护理费、误工费等合理费用。您可与对方协商赔偿，或通过公安机关调解；若调解不成，可向法院提起民事诉讼。
• 申请伤情鉴定：伤情鉴定是追究对方责任的关键证据，务必在受伤后及时要求公安机关委托鉴定，避免因拖延影响结果。
• 监督案件进展：若公安机关未及时处理，您可向其上级部门或检察院投诉（《刑事诉讼法》第113条），要求督促立案或监督侦查。

3. 注意事项与建议

• 保留证据：保存所有医疗记录、费用单据、报警回执、伤情照片等，这些是后续维权的重要依据。
• 避免私下解决：切勿与对方私下达成“赔偿了事”的协议而放弃报警，否则可能因证据不足导致对方逃脱法律制裁。
• 关注伤情恢复：若家人受伤严重，需优先治疗，同时委托亲友或律师协助处理法律事宜。

4. 若对方拒不赔偿或公安机关不作为

• 行政复议或诉讼：若对公安机关的处理结果不满（如不立案、处罚过轻），可申请行政复议或提起行政诉讼。
• 刑事附带民事诉讼：若案件进入刑事程序，您可在检察院提起公诉时，一并提起刑事附带民事诉讼，要求赔偿损失。

总结：当前最重要的是配合公安机关调查，完成伤情鉴定，并保留所有证据。若对方行为构成犯罪，公安机关应依法追究其责任；若不构成犯罪，也可通过行政处罚和民事赔偿维护权益。如有疑问或需要进一步帮助，可直接向我咨询。