结论：打架被拘留15天是否会留下案底，主要取决于该行为是否构成刑事犯罪并被法院判定有罪。如果是行政拘留，则不会留下犯罪记录；如果是刑事拘留且经法院判决有罪，则会留下案底。
详细分析：
行政拘留与案底的关系：
- 性质：行政拘留是公安机关对违反治安管理行为人的一种行政处罚措施，它针对的是轻微的违法行为，并不构成刑事犯罪。
- 记录保存：虽然行政拘留的记录会保存在公安机关的内部系统中，但这并不是正式的犯罪记录。
- 影响范围：行政拘留通常不会对一般的就业、升学等产生实质性影响。但在某些特定行业或岗位，如公务员招录、参军入伍、某些安保职位等，可能会要求进行无违法犯罪记录的审查，此时行政拘留记录可能会被查到，但一般不影响政审结果（除非特定岗位有特别要求）。
刑事拘留与案底的关系：
- 性质：刑事拘留是刑事诉讼过程中的一种强制措施，它针对的是涉嫌犯罪的行为人。
- 后续程序：如果打架行为严重到构成刑事犯罪（如故意伤害罪），并且经过法院审判确认有罪，那么就会留下犯罪记录，即案底。
- 影响范围：犯罪记录会伴随当事人终身，对其自身及子女的职业发展等可能产生一定限制。例如，子女在报考军事院校、警校，或从事一些特殊公务员岗位工作时，可能会因父母的犯罪记录而受到影响。
具体情形分析：
- 如果属于行政拘留：说明打架行为尚未达到刑事犯罪的程度，只是违反了治安管理法规。这种情况下，不会留下案底，但会有行政处罚记录。
- 如果属于刑事拘留：说明打架行为可能涉嫌犯罪，已被立案侦查。若后续经过法院判决有罪，则会留下案底；若被认定不构成犯罪，或检察院决定不起诉，法院判决无罪，则不会留下案底。
建议：
- 在日常生活中，应遵守法律法规，避免任何形式的暴力行为，以免给自己和他人带来不必要的麻烦。
- 如果不幸涉及此类事件，应积极配合公安机关的调查，并及时向我咨询以了解自己的权利和义务，确保合法权益得到保护。
- 对于已经留下的行政处罚记录或犯罪记录，虽然无法消除，但可以通过积极表现、遵守法律等方式来减少其对自己和子女未来的影响。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。