结论前置：在劳动者符合签订无固定期限劳动合同条件的情况下，用人单位并没有直接提醒劳动者签订无固定期限劳动合同的法定义务，但用人单位有义务在劳动者提出签订无固定期限劳动合同时，依法与其签订。不过，从维护劳动者权益和构建和谐劳动关系的角度出发，用人单位可以主动提示劳动者其享有的相关权利。以下是对此问题的详细分析：

一、法律规定与条件

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当满足以下条件之一时，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的（除非劳动者明确提出订立固定期限劳动合同），应当订立无固定期限劳动合同：

1. 连续工作满十年：劳动者在该用人单位连续工作满十年。
2. 初次实行或改制情况下的特殊规定：用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年。
3. 连续二次固定期限且无违规：连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者未出现《劳动合同法》第三十九条（如严重违反规章制度）和第四十条第一项、第二项（如医疗期满不能胜任工作）规定的情形。

二、用人单位的义务与权利

1. 无直接提醒义务：虽然法律没有明确规定用人单位在第三次签订劳动合同时必须提醒劳动者签订无固定期限劳动合同，但用人单位应当了解并遵守相关法律法规，确保在劳动者符合条件时，不拒绝其签订无固定期限劳动合同的要求。
2. 有签订义务：当劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，并明确提出签订要求时，用人单位有义务依法与其签订无固定期限劳动合同。若用人单位违反规定拒绝订立，则需自应订立之日起向劳动者每月支付二倍工资作为赔偿。
3. 主动提示的考量：从维护劳动者权益和构建和谐劳动关系的角度出发，用人单位可以主动提示劳动者其享有的签订无固定期限劳动合同的权利。这有助于增强劳动者对用人单位的信任感，提高工作积极性和稳定性。

三、劳动者的权利与选择

1. 提出签订要求：劳动者在符合签订无固定期限劳动合同的条件时，有权向用人单位提出签订要求。这是法律赋予劳动者的权利，用人单位应当予以尊重并依法履行。
2. 选择合同类型：虽然劳动者在符合条件时有权提出签订无固定期限劳动合同的要求，但双方也可根据实际情况和意愿协商选择合同类型。如果劳动者更倾向于签订固定期限劳动合同，那么用人单位应当尊重其选择。

四、实际操作建议

1. 了解法律法规：用人单位和劳动者都应当了解并遵守《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规，确保在签订劳动合同时符合法律规定。
2. 充分沟通协商：在签订劳动合同时，双方应当充分沟通协商，明确各自的需求和期望。用人单位可以主动询问劳动者是否希望签订无固定期限劳动合同，并解释相关法律规定和利弊。
3. 保留证据材料：为了维护自身权益，双方在签订劳动合同时应当保留好相关证据材料，如劳动合同文本、续订协议等。这些材料在发生劳动争议时可以作为重要证据使用。

举例说明：假设小张在某公司已经连续工作了八年，并与公司连续签订了两次固定期限劳动合同。在第三次签订劳动合同时，小张有权向公司提出签订无固定期限劳动合同的要求。如果公司同意并依法签订了无固定期限劳动合同，那么双方的关系将更加稳定；如果公司拒绝并继续签订固定期限劳动合同，且小张符合签订无固定期限劳动合同的条件，那么小张可以通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。

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