结论：若私人牙医诊所不给退钱，您可以根据具体情况，通过与诊所协商、向消费者协会投诉、向卫生健康主管部门投诉或向法院起诉等途径来维护自己的合法权益。
详细分析：
与诊所协商：
- 首先，您可以尝试与诊所进行友好协商，明确表达您的退款诉求和理由。在协商过程中，保持冷静和理性，尽量以事实为依据，说明退款的原因和合理性。
- 如果诊所同意退款，那么问题就得到了解决。如果诊所拒绝退款或提出不合理的解决方案，您可以考虑采取其他措施。
向消费者协会投诉：
- 如果协商无果，您可以向当地的消费者协会投诉。消费者协会是保护消费者权益的机构，他们会根据您的投诉情况进行调查，并尝试协调解决纠纷。
- 在投诉时，您需要提供详细的证据，如支付凭证、合同、沟通记录等，以证明您的权益受到了侵害。
向卫生健康主管部门投诉：
- 私人牙医诊所作为医疗机构，也受到卫生健康主管部门的监管。如果诊所存在违规行为或拒绝履行退款义务，您可以向当地的卫生健康主管部门投诉。
- 卫生健康主管部门会对诊所进行调查，并根据调查结果采取相应的监管措施，包括责令退款、罚款等。
向法院起诉：
- 如果以上途径均无法解决问题，您可以考虑向法院起诉。在起诉前，您需要准备好相关证据，如支付凭证、合同、沟通记录、投诉记录等，以证明您的诉求和理由。
- 法院会根据事实和法律规定进行审理，并作出判决。如果判决支持您的诉求，诊所将需要履行退款义务。
法律背景：
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，消费者在购买商品或接受服务时享有知情权、选择权、公平交易权等权益。如果诊所拒绝退款或提供不合理服务，可能构成对消费者权益的侵害。
- 同时，医疗机构作为服务提供者，也应当遵守相关法律法规和行业规范，保障患者的合法权益。如果诊所存在违规行为或拒绝履行退款义务，将可能面临法律责任。
建议：
- 在处理此类纠纷时，建议您保持冷静和理性，尽量通过协商、投诉等和平方式解决问题。
- 如果必须采取法律手段，建议您提前咨询专业律师（即我，邱流芳律师，专注于婚姻家庭、刑事辩护、合同纠纷、医疗纠纷、公司事务、经济纠纷领域），了解相关法律程序和风险，以便更好地维护自己的合法权益。
如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。