当法院作出判决书驳回诉讼请求后，当事人可以采取以下措施来应对和处理：
仔细研读判决书，分析驳回原因：
- 核心步骤：首先，要认真阅读判决书中的“本院认为”部分，这是法院阐述驳回请求具体法律依据和事实认定的关键部分。例如，若因证据不足被驳回，需核查是否遗漏了关键证据或举证方式存在瑕疵。
- 法律背景：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，法院在审理案件时，会依据事实和法律作出裁判。若原告的诉讼请求缺乏事实或法律依据，法院将判决驳回其诉讼请求。
评估上诉可能性，决定是否上诉：
- 判断标准：在分析驳回原因后，需要判断法律适用是否正确，以及是否存在上诉的可行性。若认为一审判决存在法律适用错误或事实认定不清，且新证据获取可能性较大，那么上诉可能是一个合理的选择。
- 上诉时限：务必在判决书送达之日起15日内向上一级人民法院递交上诉状，逾期未上诉则判决生效，将丧失上诉救济途径。
- 上诉状撰写：上诉状应明确列明上诉请求（如撤销原判、改判等）、具体事实和理由，重点针对一审判决的法律适用错误或事实认定不清进行反驳。
考虑其他救济途径：
- 申请再审：在判决生效后6个月内，若发现新的证据足以推翻原判决，或存在审判人员贪污受贿等法定情形，可向原审法院或上级法院申请再审。
- 另行起诉：若基于新的事实或法律关系提起诉讼，且符合民事诉讼法规定的受理条件，可在诉讼时效内重新向法院立案。但需注意，另行起诉应确保与原诉讼无直接关联，且符合法律规定的起诉条件。
- 执行异议与执行监督：若败诉方拒不履行义务进入执行程序，可通过提出执行异议、申请执行监督等方式维护权益。这主要针对执行过程中的问题，如执行标的错误、执行程序违法等。
寻求专业法律支持，制定应对策略：
- 专业律师的作用：在处理复杂的法律问题时，建议委托熟悉案件领域的律师。律师能够凭借其专业能力，制定诉讼策略、准备法律文书，并在整个过程中提供法律支持。
- 法律援助申请：若经济困难，可向当地司法行政机关申请法律援助。经审核符合条件的，将由指派律师提供免费法律服务。
示例说明：
假设在一起合同纠纷案件中，原告因证据不足被法院驳回诉讼请求。在收到判决书后，原告应首先仔细研读判决书，分析驳回原因。若认为一审判决存在错误，且能够获取到新的证据来支持其主张，那么原告可以在法定期限内提起上诉。在上诉过程中，原告应委托专业律师撰写上诉状，并准备充分的证据来支持其上诉请求。若上诉失败或原告认为上诉风险较大，也可考虑在判决生效后申请再审或基于新的事实另行起诉。
总结与建议：
面对判决书驳回诉讼请求的情况，当事人应保持冷静，仔细分析驳回原因，并评估上诉或其他救济途径的可行性。在整个过程中，寻求专业法律支持是至关重要的。作为专业律师，我建议当事人在处理此类问题时，务必遵循法律程序，确保自身权益得到有效维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。