孩子改姓跟继父后，在法律上与生父的责任关系：
- 孩子改姓跟继父，并不改变其与生父之间的亲子法律关系。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。因此，即使孩子改姓跟继父，生父仍然需要承担抚养、教育、保护等法定义务，包括支付抚养费（如果生父未直接抚养孩子的话）。
孩子改姓跟继父后，与继父的责任关系：
- 孩子改姓跟继父后，继父与孩子之间形成了法律上的拟制血亲关系。根据《中华人民共和国民法典》的规定，继父或者继母和受其抚养教育的继子女间的权利义务关系，适用本法关于父母子女关系的规定。这意味着，继父在承担抚养、教育、保护孩子的责任的同时，也享有相应的权利，如要求孩子尊重、赡养等（在孩子成年后）。但需要注意的是，这种责任关系是基于继父实际抚养教育孩子的事实而产生的，如果继父未实际履行抚养教育义务，则可能不承担相应的法律责任。
特殊情况下的责任考虑：
- 如果生父或继父存在虐待、遗弃等违法行为，或者未履行抚养义务，孩子或其他监护人可以向法院提起诉讼，要求其承担相应的法律责任。
- 另外，如果孩子改姓跟继父后，生父或继父的抚养能力、经济状况等发生显著变化，也可能影响到他们各自应承担的责任。在这种情况下，可以通过协商或诉讼的方式调整抚养费的支付标准或其他相关责任。
总结：孩子改姓跟继父后，并不改变其与生父之间的亲子法律关系，生父仍需承担法定义务；同时，孩子与继父之间形成了法律上的拟制血亲关系，继父在承担抚养教育责任的同时享有相应权利。在特殊情况下，可以通过协商或诉讼的方式调整相关责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。