结论：私生子即使不做DNA鉴定，在特定情况下仍然可以继承遗产。这主要取决于是否能够通过其他证据证明其与被继承人的亲子关系。
分析说明：
法律上的亲子关系认定：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女（即私生子）与婚生子女享有同等的法律地位，包括继承权。
- 亲子关系的认定通常依赖于出生证明、户籍登记、亲子鉴定等证据。然而，DNA鉴定并非唯一证据，如果存在其他充分证据能够证明亲子关系，法院也会予以认可。
不做DNA鉴定的情况：
- 如果私生子无法或不愿意进行DNA鉴定，但能够提供其他证据（如被继承人生前的承认、亲友的证言、共同生活的照片或视频等）来证明其与被继承人的亲子关系，那么这些证据在法律上也可能被接受。
- 法院在审理此类案件时，会综合考虑所有相关证据，并根据证据的充分性和可信度来作出判断。
继承权的行使：
- 一旦私生子的亲子关系得到法律认可，他们就有权行使继承权，包括法定继承和遗嘱继承。
- 在法定继承中，私生子通常作为第一顺序继承人参与遗产分配。
- 如果被继承人留有遗嘱，且遗嘱中明确指定了私生子为继承人，那么私生子将按照遗嘱的指示继承遗产。
特殊场景：
- 如果被继承人已经去世，且没有留下任何能够证明亲子关系的直接证据（如出生证明、户籍登记等），同时私生子也无法提供其他充分证据来证明亲子关系，那么在这种情况下，私生子可能会面临较大的举证困难，甚至可能无法继承遗产。
- 另外，如果被继承人生前明确表示不承认私生子的身份，且没有留下任何相反的证据或遗嘱，那么私生子在继承遗产时也可能会遇到法律障碍。
行动建议：
- 对于私生子而言，如果希望确保自己的继承权，最好尽可能收集并保存能够证明亲子关系的证据，包括但不限于出生证明、户籍登记、亲子鉴定报告、被继承人生前的承认、亲友的证言等。
- 如果面临继承纠纷或举证困难，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。
法律背景：
- 《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条规定：“非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。”这一条款为私生子提供了法律上的保护，确保他们享有与婚生子女同等的继承权。
- 在继承案件中，法院通常会根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，对当事人提供的证据进行审查和判断，以确定亲子关系的存在与否。