当一方没有按照合同履行其义务时，赔偿的方式和标准是一个涉及法律原则和具体操作的问题。以下是我为您详细梳理的赔偿原则、方式以及相关注意事项，希望能帮助您更好地理解和处理这类情况。

一、总体赔偿原则

1. 约定优先：首先，我们要查看合同中是否明确约定了违约责任及其赔偿金额或计算方式。如果合同中有这样的约定，那么赔偿应首先按照这些约定来执行。

2. 法定补充：如果合同中没有明确约定，那么我们就需要依据《民法典》的相关规定来进行赔偿。这主要包括实际损失赔偿和可得利益赔偿。

二、主要赔偿方式

1. 继续履行：

   • 如果违约方在法律上或事实上能够继续履行合同，且债务标的适于强制履行，履行费用不过高，同时债权人在合理期限内提出了要求，那么违约方应继续履行合同义务。

2. 损害赔偿：

   • 违约方需要赔偿因违约给对方造成的全部损失，这包括直接损失（如货物损坏、服务费用等）和间接损失（如利润减少、机会成本等）。
   • 赔偿额的计算标准是不得超过违约方在订立合同时预见到或应当预见到的因违约可能造成的损失范围。

3. 支付违约金：

   • 如果合同中约定了违约金条款，违约方应按约定支付违约金。
   • 如果约定的违约金低于实际损失，受损方可以请求增加；如果约定的违约金过分高于实际损失，违约方可以请求适当减少。

4. 定金罚则：

   • 如果合同中含有定金条款，支付定金的一方不履行债务时，无权要求返还定金；收受定金的一方不履行债务时，应双倍返还定金。
   • 需要注意的是，定金数额不得超过主合同标的额的20%，超过部分不产生定金的效力。

5. 采取补救措施：

   • 根据合同的具体情况，违约方可能需要采取修理、更换、重作、退货、减少价款或报酬等补救措施。
   • 这些补救措施可以双方事先在合同中约定，或事后协商确定；协商不成的，根据合同性质、目的和交易习惯等确定合理的补救措施。

三、赔偿金额的确定与举证责任

• 在确定赔偿金额时，我们需要全面考虑因违约行为导致的直接经济损失和间接经济损失。
• 同时，赔偿金额也受违约方在订立合同时的预见能力限制，即“可预见性规则”。
• 受损方需要承担举证责任，证明其遭受的损失确实存在且数额可量化。

四、法律途径与证据保存

• 如果双方无法就赔偿事宜达成一致，受损方可以通过诉讼或仲裁等法律途径来维护自身权益。
• 在此过程中，保存相关证据至关重要，如书面通知、往来邮件、交易记录等，这些都可以作为支持赔偿请求的有力证据。

综上所述，当一方没有按照合同履行其义务时，赔偿的方式和标准需要根据合同约定及实际情况来综合判断。受损方应充分了解并合理运用各种赔偿方式，以最大程度维护自身的合法权益。如果处理此类纠纷时感到困惑或不确定，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。