结论：醉驾被判处拘役一个月，会留有案底，即刑事犯罪记录，该记录将长期保存在司法机关的档案系统中，对个人及特定关系人可能产生多方面影响。
详细分析：
拘役与案底的关系：
- 拘役是刑事处罚的一种，它短期剥夺犯罪分子的人身自由，并就近实行强制劳动改造。一旦因醉驾被法院判定构成危险驾驶罪并判处拘役，行为人即获得了刑事犯罪的记录，也就是我们通常所说的“案底”。
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，醉酒驾驶机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任。这里的“依法追究刑事责任”就包括了可能判处拘役等刑事处罚。
案底的影响：
- 对本人的影响：案底的存在可能对个人产生多方面的影响。在就业方面，某些需要严格审查背景的工作岗位（如公务员、军警岗位、安保行业等）可能因案底而受限。在入伍、出国等方面也可能面临相应的阻碍。此外，个人在申请特定职业、出国签证等需要开具无犯罪记录证明的场合，也可能因有案底而无法提供符合要求的证明。
- 对子女的影响：虽然案底主要影响的是犯罪者本人，但在某些特定情况下，如子女报考军警院校、某些特殊岗位公务员时，可能需要进行政审，父母的犯罪记录可能会对子女的政审结果产生一定影响。
案底的长期性与消除：
- 案底一旦形成，通常会长期存在，不会因刑罚结束而立即消失。它会伴随涉嫌犯罪的行为人终生，对其未来的生活和职业发展构成长期影响。
- 除非在极少数地区存在相关法规及司法解释，对于未成年罪犯在表现出积极悔改态度的前提下，可在其个人档案中封存犯罪纪录，否则案底一般无法消除。
法律建议与警示：
- 鉴于醉驾带来的严重后果，包括但不限于刑事处罚和留下的案底，我强烈建议驾驶员在饮酒后不要驾车。遵守交通法规，尊重自己和他人的生命财产安全，是每位公民应尽的责任。
- 如果已经因醉驾被判处拘役并留下案底，应积极面对现实，努力改正错误，争取减少案底带来的负面影响。例如，可以通过积极参与社会公益活动、展现良好的品行和态度等方式，来逐渐改善自己的社会形象。
总结：
醉驾被判处拘役一个月，不仅会面临短期的刑罚，还会留下长期的刑事犯罪记录，对个人未来可能产生深远影响。因此，务必严格遵守交通法规，切勿酒后驾车，以免触犯法律并留下不可磨灭的污点。如果有任何法律问题或疑虑，可以直接向我咨询。