老赖按法院要求逐月还款后，仍然可以依法继承父母的房产。以下从多个角度进行详细分析：
一、继承权的法律基础
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承从被继承人死亡时开始。遗产是公民死亡时遗留的个人合法财产，包括房产等不动产。在继承方式上，如果存在合法有效的遗嘱，则按照遗嘱内容进行继承；如果没有遗嘱，则按照法定继承顺序进行继承。法定继承顺序中，第一顺序继承人包括配偶、子女和父母。因此，作为子女，即使被列为失信被执行人（即“老赖”），在父母过世后，仍然有权继承其遗产，包括房产。
二、失信被执行人身份对继承权的影响
失信被执行人身份主要影响的是个人的信用状况和某些高消费行为，如乘坐飞机、高铁等交通工具的限制，以及子女就读高收费私立学校等。然而，失信被执行人身份并不直接剥夺其继承权。继承权是基于亲属关系和法律规定而产生的，与个人的信用状况无关。因此，即使被列为失信被执行人，仍然可以依法继承父母的房产。
三、继承过程中的注意事项
遗产分割：如果房产是父母的共同财产，那么首先需要分割出父亲或母亲的一半（假设另一方已经过世），剩下的一半作为遗产进行继承。在继承时，需要明确各继承人的份额和权利。
债务处理：虽然失信被执行人身份不影响继承权，但在继承过程中需要注意处理被继承人的债务。根据《中华人民共和国民法典》的规定，继承遗产应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务，缴纳税款和清偿债务以遗产的实际价值为限。因此，在继承房产时，需要了解并处理可能存在的债务问题。
不动产变更登记：由于房产属于不动产，继承后需要及时办理不动产变更登记手续，将房产过户到继承人名下。这是确保继承人合法权益的重要步骤。
四、特殊情况下的考虑
如果老赖因未履行生效法律文书确定的义务而被法院采取限制消费措施等执行措施，这并不影响其继承权的行使。但是，在继承房产后，如果老赖仍然未履行义务，法院有权对继承的房产进行查封、拍卖等执行措施以偿还债务。因此，在继承房产后，老赖应尽快履行义务以避免房产被执行。
总结与建议：老赖按法院要求逐月还款后，仍然可以依法继承父母的房产。在继承过程中，需要注意遗产分割、债务处理和不动产变更登记等事项。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。