核心结论：针对您描述的情况，您可以采取以下措施来推动车辆维修事宜的进展：

1. 与对方及保险公司直接沟通：

   • 首先，建议您再次与对方（即全责方）取得联系，明确询问其统筹险的保险公司名称及联系方式。
   • 接着，直接联系该保险公司，了解车辆维修的具体流程、所需文件以及预计的维修时间。保险公司通常有专门的理赔部门负责处理此类事务，他们应该能够给出明确的答复和安排。

2. 要求对方或保险公司提供书面承诺：

   • 如果口头沟通后问题仍未得到解决，您可以要求对方或保险公司出具书面承诺，明确维修的时间节点和责任方。这样，在后续维权过程中，您将有更有力的证据支持自己的诉求。

3. 考虑法律途径：

   • 如果对方或保险公司持续拖延，且沟通无果，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。这包括但不限于向当地消费者协会投诉、向保险监管部门举报或直接向法院提起诉讼。
   • 在采取法律行动前，建议您收集好所有相关证据，如事故认定书、车辆损坏照片、与对方及保险公司的沟通记录等，以便在诉讼过程中证明自己的主张。

4. 关注维修进度与质量：

   • 在车辆开始维修后，您也应保持关注，确保维修工作按照约定的时间和质量标准进行。如果发现维修过程中存在问题或延误，应及时与维修厂和保险公司沟通，要求他们尽快解决。

核心前提：您在此次事故中无责任，对方全责且购买了统筹险，但车辆已放置4天仍未开始维修。

额外建议：在整个过程中，保持冷静和理性至关重要。通过合法、合理的途径来维护自己的权益，不仅能够更有效地解决问题，还能避免不必要的纠纷和损失。如果您在处理过程中遇到任何法律难题或需要进一步的法律指导，请随时向我咨询。