结论：员工上班期间自行外出自杀，企业通常不需要承担赔偿责任，但需根据具体情况判断是否存在例外情形。以下从不同角度进行分析：
一、一般情况：企业无需担责
自杀行为的性质：
- 自杀行为通常被视为员工个人行为，与企业的工作安排、管理行为无直接关联。
- 根据《工伤保险条例》及相关规定，工伤认定需满足“工作时间、工作场所、因工作原因”三个要素。自杀行为显然不符合“因工作原因”这一要素。
企业责任边界：
- 企业对员工的安全保障义务主要限于工作场所内，且需是因工作原因导致的伤害。
- 员工自行外出自杀，已超出企业的工作管理范围，企业无法预见和控制此类行为。
二、例外情况：企业可能需担责
企业存在过错：
- 如果企业存在严重的管理疏忽或过错，如未提供必要的安全保障措施、未及时发现并制止员工的自杀倾向等，可能需承担一定的赔偿责任。
- 但这种赔偿责任通常限于因企业过错导致的部分损失，而非全部损失。
特殊劳动关系：
- 在某些特殊劳动关系中，如劳务派遣、非全日制用工等，企业可能需根据具体合同约定或法律规定承担一定的责任。
- 但这种情况较为罕见，且需具体分析合同条款和法律规定。
员工心理问题与企业责任：
- 如果企业能够证明员工自杀是由于长期的工作压力、职场欺凌等企业因素导致的，且企业未采取合理措施予以缓解或制止，那么企业可能需要承担一定的责任。
- 但这需要充分的证据支持，且责任范围通常有限。
三、法律建议
企业层面：
- 加强员工心理健康管理，提供必要的心理咨询服务和援助。
- 完善工作场所的安全保障措施，确保员工的人身安全。
- 在发现员工有自杀倾向或异常行为时，及时采取措施予以制止和援助。
员工或家属层面：
- 如果认为企业存在过错或责任，可以收集相关证据并咨询专业律师，以维护自身合法权益。
- 但需注意，自杀行为本身通常不被视为工伤，企业无需承担工伤保险责任。
四、可能后果
- 如果企业被认定存在过错或责任，可能需承担一定的民事赔偿责任，包括赔偿员工家属的丧葬费、抚恤金等。
- 但这种赔偿责任通常有限，且需根据具体过错程度和损失情况来确定。
总结：员工上班期间自行外出自杀，企业通常无需承担赔偿责任。但企业仍需加强员工心理健康管理，完善工作场所的安全保障措施，并在发现员工有异常行为时及时采取措施。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。