结论：员工达到法定退休年龄后，公司与其之间的劳动合同通常可以依法终止，但这并不等同于“无条件辞退”，而是基于法律规定的劳动关系自然结束。不过，具体是否终止劳动关系还需考虑员工是否能享受基本养老保险待遇及其继续工作的意愿。
详细分析：
员工开始依法享受基本养老保险待遇：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条的规定，当员工开始依法享受基本养老保险待遇时，劳动合同即行终止。这意味着，如果员工达到法定退休年龄且符合领取基本养老金的条件，公司可以依据法律规定终止与其的劳动合同，且这种终止是合法的，不属于违法辞退。此时，公司无需支付经济补偿。
员工达到退休年龄但未享受基本养老保险待遇：
- 在这种情况下，劳动关系的处理可能因地区而异。部分地区依据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第二十一条，认为劳动者达到法定退休年龄时，劳动合同即终止，无论其是否享受基本养老保险待遇。
- 然而，也有部分地区认为，仅以达到法定退休年龄为由并不能直接终止劳动合同。如果员工未享受基本养老保险待遇，双方劳动关系依然存续。此时，若公司希望解除劳动合同，必须符合《劳动合同法》规定的合法解除情形，如员工严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等。否则，公司可能构成违法解除，需要向员工支付赔偿金，赔偿金标准为经济补偿标准的二倍。
公司愿意留用员工：
- 如果员工虽达到法定退休年龄但因各种原因（如社保缴纳年限不足）暂无法享受基本养老保险待遇，同时员工本人有继续工作的意愿，双方可以协商一致，重新建立劳务关系。此时，应签订劳务合同以明确双方的权利和义务。在这种新的关系下，双方将不再受《劳动法》和《劳动合同法》的调整，而是转由民法进行规范。
法律建议：
- 对于公司：在处理员工达到法定退休年龄后的劳动关系问题时，应首先核查员工的养老保险待遇享受情况。如果员工已享受基本养老保险待遇，公司可以依法终止劳动关系。若员工未享受养老保险待遇，公司则需谨慎处理，避免违法解除劳动合同的风险。同时，公司应积极与员工沟通协商，寻求双方都能接受的解决方案。
- 对于员工：如果达到法定退休年龄但未享受基本养老保险待遇，且希望继续工作，可以与公司协商签订劳务合同或其他协议。在签订合同时，应明确双方的权利和义务，以避免后续纠纷。
案例分析：
以员工张某为例，假设其达到法定退休年龄但社保只缴纳了12年，无法立即享受基本养老保险待遇。若公司在未与张某协商且无合理理由的情况下直接将其辞退，张某在某些地区可能会通过法律途径要求公司给予一定补偿。这表明，在实际操作中，公司需要综合考虑地方性的司法实践和规定，以避免因不当操作而引发的法律纠纷。
综上所述，员工达到法定退休年龄后，劳动关系的终止应遵循相关法律法规，并考虑员工的实际养老待遇情况及其工作意愿。公司在处理此类问题时，应确保合法合规，同时与员工进行充分沟通，以减少不必要的法律风险和经济损失。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。