威胁勒索一千元，一般不构成敲诈勒索罪，但会受到行政处罚；若存在特殊情形，则可能构成犯罪。以下是对此问题的详细分析：

1. 不构成敲诈勒索罪的情况

   • 根据相关司法解释及实践，敲诈勒索公私财物价值达到二千元至五千元以上，才通常被认定为“数额较大”，进而可能构成敲诈勒索罪。因此，敲诈勒索一千元一般不满足此标准，不构成犯罪。
   • 对于不构成犯罪的情况，依据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十九条的规定，敲诈勒索公私财物的行为人将面临五日以上十日以下拘留的处罚，并可处五百元以下罚款；若情节较重，则处十日以上十五日以下拘留，并可处一千元以下罚款。

2. 可能构成敲诈勒索罪的特殊情形

   • 尽管敲诈勒索一千元一般不构成犯罪，但若存在以下特殊情形之一，仍有可能被追究刑事责任：

     1. 曾因敲诈勒索受过刑事处罚：若行为人之前有敲诈勒索的犯罪记录，再次实施此类行为时，即便数额不大，也可能被视为累犯而受到更严厉的处罚。
     2. 一年内曾因敲诈勒索受过行政处罚：若行为人在一年内已因敲诈勒索受到过行政处罚，再次实施此类行为将可能被视为重复违法，从而面临刑事指控。
     3. 多次敲诈勒索：即使每次敲诈的数额不大，但若行为人多次实施敲诈勒索行为，也将被视为情节严重，可能构成犯罪。
     4. 对他人实施要挟、恐吓，造成恶劣社会影响：若行为人的敲诈勒索行为伴随着要挟、恐吓等恶劣手段，并造成了不良的社会影响，也可能被追究刑事责任。

   • 在构成敲诈勒索罪的情况下，依据《中华人民共和国刑法》第二百七十四条的规定，行为人将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金的处罚。

3. 建议与应对措施

   • 及时报警：若您或他人遭遇威胁勒索，应立即向公安机关报案，提供详细情况和证据，以便公安机关及时介入调查。
   • 保留证据：在报警前，尽量保留与威胁勒索相关的所有证据，如聊天记录、短信、录音等，这些证据将有助于公安机关查明事实真相。
   • 配合调查：在公安机关调查过程中，应积极配合，如实陈述事实，提供必要的协助。
   • 寻求法律帮助：若您对法律程序或自身权益有疑问，可以向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。

总结来说，威胁勒索一千元的行为，在一般情况下不构成敲诈勒索罪，但会受到行政处罚。然而，若存在上述特殊情形之一，则有可能被追究刑事责任。因此，在处理此类案件时，应综合考虑案件的具体情况及当地的法律规定。如果您或他人遭遇此类情况，请及时报警并寻求法律帮助。