公司在特定情况下开除员工无需支付赔偿金，这些情况主要包括以下几种：
试用期不符合录用条件
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第一项，若劳动者在试用期间被证明不符合录用条件，用人单位可以解除劳动合同且无需支付赔偿金。
- 具体情形：用人单位需在招聘时明确具体的录用条件，如学历、技能证书、工作经验等，并在试用期内对员工进行考核。若员工无法达到这些条件，如工作表现无法满足岗位设定的工作任务指标，用人单位可依据此条款辞退员工。
- 建议：用人单位应保留试用期考核记录、工作成果不达标等相关材料作为证据，以确保辞退行为的合法性。
严重违反公司规章制度
- 法律依据：同样依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第二项，员工若严重违反用人单位的规章制度，用人单位有权解除劳动合同且不赔偿。
- 具体情形：规章制度必须合法、合理且已向员工公示。例如，公司有明确规定禁止在工作场所吸烟，员工多次违规且不听劝阻，或连续旷工超过规定天数，均属于严重违反规章制度的情形。
- 建议：用人单位应确保规章制度通过民主程序制定，不违反法律法规，并已向劳动者公示。同时，保留员工违规行为的记录及证据，如规章制度文本、违规行为照片或视频等。
同时与其他用人单位建立劳动关系且拒不改正
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第四项，若劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出后拒不改正，用人单位可解除劳动合同且不支付赔偿金。
- 具体情形：员工若同时与其他单位建立劳动关系，如在本单位工作的同时在竞争对手处兼职，且对本单位工作任务造成严重影响，或经用人单位提出后拒不改正，用人单位可依据此条款辞退员工。
- 建议：用人单位应保留其他单位的工作证明、考勤记录、对员工工作任务影响的评估报告等证据，以证明员工存在双重劳动关系且拒不改正。
以欺诈、胁迫手段或乘人之危导致劳动合同无效
- 法律依据：结合《中华人民共和国劳动合同法》第二十六条第一款第一项及第三十九条第五项，若劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，导致劳动合同无效，用人单位有权辞退且无需赔偿。
- 具体情形：例如，劳动者伪造学历证书或工作经历等重要信息与用人单位签订劳动合同，即属于此类情况。
- 建议：用人单位应保留员工欺诈、胁迫或乘人之危的证据，以及劳动合同无效的相关证明材料，如学历证书真伪鉴定报告等。
严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害
- 法律依据：依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第三项，劳动者在工作中若存在严重失职行为，如因疏忽大意导致重大生产事故，或利用职务之便谋取私利、收取回扣等营私舞弊行为，给用人单位造成重大损害的，用人单位有权解除劳动合同且无需支付赔偿金。
- 具体情形：这里的“重大损害”需要根据企业的规模、行业特点等因素来综合判断。例如，因员工严重失职导致公司遭受巨额经济损失或声誉损害。
- 建议：用人单位应保留财务损失报告、事故调查报告、员工失职或舞弊的证据等，以证明员工存在严重失职或营私舞弊行为且给公司造成重大损害。
被依法追究刑事责任
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第六项，劳动者若被依法追究刑事责任，包括被人民检察院免予起诉、被人民法院判处刑罚（包括主刑和附加刑）、被人民法院依据刑法相关规定免予刑事处分等情况，用人单位有权解除与其的劳动合同且无需支付赔偿金。
- 具体情形：员工若因犯罪行为被法院判处刑罚或免予刑事处罚，用人单位可依据此条款辞退员工。
- 建议：用人单位应保留法院的判决文书或相关证明材料作为证据。
额外说明：
- 除上述情形外，若是劳动合同期满，员工主动提出不再续签，双方互相也不必做任何补偿。这是基于劳动合同自愿原则，尊重双方的选择权。
- 在解除劳动合同时，公司必须确保其行为符合相关法律法规，避免歧视、压迫或报复行为。同时，公司需拥有明确且充分的证据以证实上述情况确实发生，否则可能面临法律风险。
总结与建议：
公司在开除员工时，应严格遵循法律法规，并确保有充分证据支持其决定。若员工认为公司的辞退行为违法或不合理，可以通过劳动仲裁等途径维护自己的合法权益。因此，建议公司在辞退员工前咨询专业律师，以确保行为的合法性和正当性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。