醉驾被判处一个月拘役后，交警大队主要会配合司法机关执行刑罚，并可能涉及后续的行政处罚及监管措施。具体处理方式如下：

1. 刑罚执行配合
   若法院判决醉驾者一个月拘役（属于刑事处罚），交警大队会配合看守所或监狱执行刑罚。在刑罚执行期间，交警大队可能根据司法机关要求，协助提供涉案车辆信息、酒精检测记录等证据材料，或参与社区矫正期间的监管（如适用缓刑时）。

2. 行政处罚衔接
   醉驾同时触犯《道路交通安全法》，即使被判处拘役，交警大队仍会依法吊销其机动车驾驶证（五年内不得重新取得），并可能处以罚款（如200-2000元）。若醉驾导致交通事故，还需承担事故赔偿责任。

3. 后续监管措施
   刑罚执行完毕后，交警大队可能通过以下方式加强监管：

   • 定期核查驾驶人重新考取驾驶证的资格；
     
   • 对高风险人群（如多次酒驾者）建立重点监控档案；
     
   • 配合司法机关开展法治宣传教育，预防再犯。

温馨提示：若您或亲友涉及醉驾案件，建议主动配合司法机关调查，及时咨询律师以争取从宽处理（如自首、认罪认罚等情节可能减轻刑罚）。如有具体案情需要分析，可直接向我提问。