事故发生后，申请行政复议的最迟期限一般为六十日，但特定情况下可能延长至九十日。以下是详细解释：

一、一般情况下的申请期限

根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益的，可以自知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请。这一期限是普遍适用的，涵盖了大多数行政复议申请的情况。

二、特殊情况下的申请期限

1. 法律规定的申请期限超过六十日的：

   • 如果其他法律对申请期限有特别规定，且该期限超过六十日，那么应适用该特别规定。例如，在某些特定类型的行政案件中，法律可能规定了更长的申请期限。

2. 因不可抗力或其他正当理由耽误申请期限的：

   • 如果因不可抗力（如自然灾害、战争等）或其他正当理由（如严重疾病、意外事件等）耽误了申请期限，申请人可以在障碍消除后的十日内提出申请，经行政复议机关决定，申请期限可以相应延长。但这种情况下，最长的申请期限通常不会超过原申请期限的一倍，即一般不会超过九十日（在六十日基础上延长）。不过，具体延长多少需由行政复议机关根据实际情况决定。

三、申请行政复议的注意事项

1. 及时申请：

   • 申请人应尽可能在知道具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请，以避免因超过期限而丧失申请权。

2. 准备相关材料：

   • 申请人在提出行政复议申请时，应准备相关证据材料，以证明具体行政行为的违法性或不当性。

3. 遵循法定程序：

   • 申请人应按照法定程序提出行政复议申请，包括填写行政复议申请书、提交相关证据材料等。

四、举例说明

假设某市民因交通事故被交警部门作出了罚款决定，该市民认为该决定违法或不当，想要申请行政复议。那么，该市民应在知道该罚款决定之日起六十日内向有管辖权的行政复议机关提出申请。如果因特殊原因（如严重疾病）耽误了申请期限，该市民可以在障碍消除后的十日内提出申请，并说明理由，经行政复议机关决定后，申请期限可以相应延长。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供专业的法律意见和帮助。