在一审被判死刑后，被告人及其辩护人、近亲属可以依法通过以下程序寻求救济或推进案件进展：

1. 上诉程序
   根据《刑事诉讼法》第227条，被告人对一审判决不服的，有权在收到判决书后10日内向上一级法院提起上诉。上诉是启动二审程序的法定途径，二审法院将全面审查一审判决的事实认定和法律适用，可能作出维持原判、改判或发回重审的裁定。

   • 关键点：上诉无需理由，被告人可直接提出；若被告人因客观原因无法上诉，近亲属或辩护人可代为提出。

2. 死刑复核程序（若二审维持死刑）
   若二审法院维持死刑判决，案件将自动进入最高人民法院死刑复核程序（《刑事诉讼法》第246条）。最高人民法院需对案件进行全面审查，包括事实认定、证据采信、法律适用及量刑是否适当。

   • 关键点：复核期间，被告人可委托律师提交法律意见或申请听证；最高人民法院可裁定核准死刑、改判或发回重审。

3. 申诉程序（判决生效后）
   若死刑判决已生效（即最高人民法院核准后），被告人及其近亲属仍可通过申诉启动审判监督程序（《刑事诉讼法》第252条）。申诉需基于新证据、原判决适用法律错误或程序违法等法定理由。

   • 关键点：申诉不停止执行，但若申诉成功，法院可能启动再审程序改判或发回重审。

4. 执行前的临时救济措施

   • 暂缓执行申请：在死刑执行前，若被告人有重大立功表现或发现可能影响判决的新证据，可申请暂缓执行（《刑事诉讼法》第262条）。
     
   • 最后陈述与会见权：执行前，被告人有权会见近亲属，并可提出最后陈述（《刑事诉讼法》第263条）。

实务建议：

• 若您或家属面临此类情况，务必在上诉期内及时委托专业律师介入，通过阅卷、调查取证等方式制定辩护策略，争取改判或发回重审。
  
• 死刑案件程序严格且时间紧迫，建议优先选择有死刑辩护经验的律师，以确保程序合法性与辩护有效性。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体案件的应对方案。