永久破坏基本农田的行为确实存在追诉期，但具体追诉期限需根据行为的具体性质和后果来确定。以下是对此问题的详细分析：
一、追诉期的法律依据
根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，犯罪行为经过一定的期限后，将不再被追诉。这一期限即为追诉期，其长短取决于犯罪行为所可能判处的最高刑罚。对于永久破坏基本农田的行为，如果构成犯罪，将依据破坏的具体情节和后果，适用相应的刑罚条款，并据此确定追诉期。
二、永久破坏基本农田可能构成的犯罪及追诉期
非法占用农用地罪：
- 如果行为人非法占用基本农田，改变被占用土地用途，数量较大，造成基本农田大量毁坏的，可能构成非法占用农用地罪。
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百四十二条，非法占用农用地罪的最高刑罚为五年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金。
- 因此，对于非法占用农用地罪，其追诉期为五年（从犯罪之日起计算；犯罪行为有连续或者继续状态的，从犯罪行为终了之日起计算）。
其他相关犯罪：
- 如果永久破坏基本农田的行为还涉及其他犯罪，如故意毁坏财物罪、环境污染罪等，将根据具体犯罪情节和后果，适用相应的刑罚条款和追诉期。
- 例如，故意毁坏财物罪的最高刑罚为七年以下有期徒刑，其追诉期可能为十年（具体根据犯罪情节和可能判处的刑罚确定）。
三、追诉期的特殊情况
- 追诉期限的延长：在人民检察院、公安机关、国家安全机关立案侦查或者在人民法院受理案件以后，逃避侦查或者审判的，不受追诉期限的限制。这意味着，如果行为人试图逃避法律制裁，其犯罪行为将不受追诉期限的限制。
- 追诉期限的计算：追诉期限从犯罪之日起计算；犯罪行为有连续或者继续状态的，从犯罪行为终了之日起计算。在追诉期限以内又犯罪的，前罪追诉的期限从犯后罪之日起计算。
四、法律建议
- 严格遵守法律法规：任何对基本农田的破坏行为都是违法的，将受到法律的制裁。因此，建议严格遵守相关法律法规，不进行任何非法占用或破坏基本农田的行为。
- 及时咨询法律专业人士：如果涉及基本农田的占用或破坏问题，建议及时咨询法律专业人士，了解相关法律法规和可能面临的法律责任，以便采取合适的应对措施。
如有任何关于农村土地或宅基地的法律问题，可以直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。