虚开增值税发票的案件主要由税务部门和公安部门负责处理，具体分工和流程如下：

1. 税务部门（国家税务总局及其下属机构）

   • 职责：税务部门是虚开增值税发票案件的首要调查和行政处理机关。根据《中华人民共和国税收征收管理法》及《增值税专用发票使用规定》，税务机关有权对涉嫌虚开发票的企业或个人进行税务检查、调取账簿资料、询问相关人员，并作出行政处罚（如罚款、没收违法所得、停止出口退税权等）。
     
   • 处理方式：若税务部门在调查中发现虚开行为涉嫌犯罪（如虚开税款数额较大或造成国家税款损失），会依法将案件移送公安机关立案侦查。

2. 公安部门（经侦部门）

   • 职责：公安机关经济犯罪侦查部门（经侦）负责接收税务部门移送的案件或直接受理报案，对虚开增值税发票行为进行刑事立案侦查。根据《中华人民共和国刑法》第二百零五条，虚开增值税专用发票或用于骗取出口退税、抵扣税款的其他发票，情节严重的，可追究刑事责任（最高可处无期徒刑）。
     
   • 处理方式：公安机关侦查终结后，会将案件移送检察院审查起诉，最终由法院审判。

3. 其他协作部门

   • 检察院：负责审查公安机关移送的案件，决定是否提起公诉。
     
   • 法院：对虚开增值税发票案件进行审判，定罪量刑。
     
   • 海关、外汇管理等部门：若虚开行为涉及跨境贸易或外汇违规，可能需相关部门配合调查。

总结：虚开增值税发票案件的处理以税务部门行政调查为起点，若涉嫌犯罪则由公安机关刑事介入，形成“行政-刑事”衔接机制。若您或您身边的人涉及此类问题，可直接向我咨询具体法律风险及应对策略。