结论是：在老人房产被法院判决各占一半后，一方是有权放弃其份额的。以下从多个角度为你详细分析：
一、法律权利角度
从法律权利的角度来看，每个人对自己的财产都享有处分权，这是法律赋予的基本权利。在老人房产被法院判决各占一半的情况下，每一方都对其所占的份额拥有完整的所有权，包括占有、使用、收益和处分的权利。因此，一方完全有权选择放弃其份额，这是其对自己财产的合法处分。
二、实际操作角度
放弃方式：
- 一方可以通过书面声明的方式明确表示放弃其房产份额。这份声明应当清晰、明确，并最好经过公证，以确保其法律效力。
- 在某些情况下，放弃方也可以与另一方签订书面协议，明确约定放弃房产份额的相关事宜，如放弃的原因、放弃后的房产归属等。
后续处理：
- 一旦一方放弃其房产份额，另一方将自动成为该房产的唯一所有者（或根据其他约定与第三方共有）。此时，应办理相关的房产过户手续，将房产登记在新的所有者名下。
- 如果放弃方在放弃前对该房产有债务或负担，放弃后这些债务或负担通常不会自动转移给另一方，除非双方另有约定或法律另有规定。
三、法律后果角度
对放弃方的影响：
- 放弃方将失去对该房产的所有权，不再享有该房产带来的任何收益或权益。
- 如果放弃方在放弃后反悔，通常无法再要求恢复其房产份额，除非存在欺诈、胁迫等法定情形。
对另一方的影响：
- 另一方将成为该房产的唯一所有者（或根据其他约定与第三方共有），享有该房产的所有权益。
- 另一方应确保在接收房产份额时，了解并承担可能存在的债务或负担。
四、特殊情况考虑
- 如果房产涉及其他共有人或抵押权人：在放弃房产份额前，应确保不会损害其他共有人的利益或违反与抵押权人的约定。否则，放弃行为可能无效或引发法律纠纷。
- 如果放弃方是老年人或存在其他特殊情况：在放弃房产份额前，应充分考虑其生活需求和未来保障。必要时，可以寻求法律援助或咨询专业律师，以确保放弃行为不会对其造成不利影响。
建议：在实际操作中，如果一方考虑放弃其房产份额，建议先咨询专业律师（即我，许莉律师，专注于婚姻家庭、遗产继承领域），了解相关法律后果和操作流程。同时，确保放弃行为符合法律规定和双方约定，以避免不必要的法律纠纷。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。