家属申请保外就医的法律依据主要涉及《刑事诉讼法》以及《罪犯保外就医执行办法》等相关规定。以下是对这些法律依据的详细解读，以及申请保外就医的具体条件和程序：
一、法律依据
《刑事诉讼法》第二百一十四条：
- 对于被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，有下列情形之一的，可以暂予监外执行：
- 对于适用保外就医可能有社会危险性的罪犯，或者自伤自残的罪犯，不得保外就医。
- 对于罪犯确有严重疾病，必须保外就医的，由省级人民政府指定的医院开具证明文件，依照法律规定的程序审批。
《罪犯保外就医执行办法》第二条：
- 已被判处无期徒刑、有期徒刑或者拘役的罪犯，在改造期间有下列情形之一的，可准予保外就医：
- 身患严重疾病，短期内有死亡危险的；
- 原判无期徒刑和死刑缓期二年执行后减为无期徒刑的罪犯，从执行无期徒刑起服刑七年以上，或者原判有期徒刑的罪犯执行原判期限（已减刑的，按减刑后的刑期计算）三分之一以上（含减刑时间），患严重慢性疾病，长期医治无效的。但如果病情恶化有死亡危险，改造表现较好的，可以不受上述期限的限制。
《罪犯保外就医执行办法》第三条（明确不准保外就医的情形）：
- 被判处死刑缓期二年执行的罪犯在死刑缓期执行期间的；
- 罪行严重，民愤很大的；
- 为逃避惩罚在狱内自伤自残的。
二、申请保外就医的条件
根据上述法律依据，申请保外就医通常需要满足以下条件：
- 罪犯必须患有严重疾病，且该疾病在监狱内无法得到有效治疗，需要保外就医；
- 罪犯的病情必须达到一定的严重程度，如短期内有死亡危险，或者长期医治无效且病情恶化有死亡危险等；
- 罪犯不得属于不准保外就医的情形，如死刑缓期执行期间的罪犯、罪行严重民愤很大的罪犯、自伤自残的罪犯等。
三、申请保外就医的程序
由省级人民政府指定的医院开具诊断证明：
- 罪犯或其家属需要联系省级人民政府指定的医院，对罪犯的病情进行诊断，并开具诊断证明。
监狱提出书面意见：
- 罪犯所服刑的监狱会根据医院的诊断证明和罪犯的实际情况，提出书面意见，认为罪犯符合保外就医条件的，会报请上级监狱管理机关审批。
上级监狱管理机关审批：
- 上级监狱管理机关（如省、自治区、直辖市监狱管理机关）会对监狱提出的书面意见进行审批，认为符合条件的，会批准保外就医。
执行与监督：
- 保外就医的期间仍然计算到刑期以内。罪犯保外就医后，由罪犯居住地的公安机关执行，对其进行严格的监督管理。
- 人民检察院对于保外就医的实施情况进行法律监督，确保保外就医的合法性和公正性。
四、具体案例分析
以您提到的亲戚为例，如果其因脸部癌变扩散，且监狱治疗条件不够，需要送往长沙治疗，同时其家庭条件困难，有80多岁的父母需要照顾，那么可以考虑申请保外就医。但具体是否符合条件，还需要根据医院的诊断证明、罪犯的服刑情况、改造表现等多方面因素进行综合判断。
综上所述，家属申请保外就医需要依据《刑事诉讼法》和《罪犯保外就医执行办法》等相关规定，满足一定的条件，并按照规定的程序进行申请和审批。希望这些信息能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。