出租车司机突发脑梗，公司的赔付责任需根据具体情况分情况讨论，具体如下：

1. 若脑梗发生在工作期间，且与工作有直接关联
   根据《工伤保险条例》第十五条，若司机在工作时间和工作岗位上突发脑梗，且48小时内经抢救无效死亡，或经劳动能力鉴定委员会确认属于“职业病”或“因工致残”情形，则应认定为工伤。此时，公司需承担工伤保险责任，包括：

   • 支付一次性工亡补助金（若死亡）；
     
   • 支付伤残津贴、一次性伤残补助金（若构成伤残）；
     
   • 承担医疗费、康复费、护理费等实际支出。
     关键点：需证明脑梗与工作强度、环境等因素存在因果关系（如长期熬夜驾驶、高温环境等），否则可能不被认定为工伤。

2. 若脑梗发生在非工作期间，或与工作无直接关联
   若司机突发脑梗发生在休息时间、家中或其他非工作场所，且无证据表明与工作相关，则通常不属于工伤范畴。此时，公司无需承担工伤保险责任，但需根据劳动合同及公司制度履行以下义务：

   • 劳动合同约定：若合同中明确约定公司需为员工购买商业保险（如补充医疗险、意外险），则公司需协助司机向保险公司申请理赔；
     
   • 人道主义援助：公司可基于企业文化或道德考量，给予一定经济补助或协助申请社会救助（如医疗救助基金），但非法定强制义务。

3. 若公司未依法缴纳工伤保险
   根据《社会保险法》第四十一条，若公司未为司机缴纳工伤保险，即使脑梗被认定为工伤，公司仍需自行承担全部工伤保险待遇（包括医疗费、伤残补助等）。此时，司机可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求公司补缴社保并支付赔偿。

建议行动步骤：

1. 立即保存医疗记录、工作记录（如排班表、行车记录仪数据）等证据，证明脑梗发生时间、地点及与工作的关联性；
   
2. 向公司人力资源部门提出工伤认定申请，并要求公司协助办理工伤保险理赔；
   
3. 若公司拒绝认定工伤或未缴纳社保，可向当地社会保险行政部门申请工伤认定，并同步准备劳动仲裁材料（如劳动合同、工资流水、医疗证明等）；
   
4. 若脑梗导致长期无法工作，可依据《劳动合同法》第四十条，与公司协商解除劳动合同并主张经济补偿（需满足法定条件）。

温馨提示：工伤认定程序复杂，证据收集需及时且全面。若您或家属遇到此类情况，可直接向我咨询具体操作流程及证据准备要点，我会结合当地政策为您详细解答。