结论前置：在员工不签新合同的情况下，用人单位不能随意辞退员工且不给予赔偿。是否需要赔偿，取决于辞退的理由是否合法以及是否符合法定程序。
一、未签订劳动合同的法律后果
首先，需要明确的是，即使员工不签新合同，只要双方存在事实劳动关系，用人单位就不能随意辞退员工。根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，未签订劳动合同本身并不能作为辞退员工且不赔偿的合法理由，反而可能给用人单位带来额外的法律风险。
二、合法辞退员工的情形及赔偿问题
员工存在过错：
- 如果员工存在严重违纪、严重失职、营私舞弊等行为，给用人单位造成重大损害，或者员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响且拒不改正，或者员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立劳动合同导致合同无效等情形，用人单位可以依据《劳动合同法》的相关规定辞退员工，且无需支付经济补偿。但需要注意的是，用人单位必须能够提供充分的证据证明员工的过错行为。
非员工过错辞退：
- 如果用人单位因经营不善、业务调整等原因需要辞退员工，且员工不存在过错，那么用人单位需要按照《劳动合同法》的规定支付经济补偿。经济补偿的标准按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
违法辞退：
- 如果用人单位无故辞退员工，或者辞退行为不符合法定程序，那么用人单位需要按照《劳动合同法》第八十七条的规定，向劳动者支付赔偿金，即经济补偿标准的二倍。
三、针对员工不签新合同的特殊处理
如果员工不签新合同，用人单位可以采取以下措施：
再次协商：
- 用人单位可以再次与员工协商，明确签订劳动合同的重要性，并尝试解决员工不签合同的原因。
发出书面通知：
- 如果协商无果，用人单位可以向员工发出书面通知，要求其在一定期限内签订劳动合同。如果员工在规定期限内仍未签订，用人单位可以考虑终止劳动关系，但需要按照法律规定支付经济补偿。
避免双倍工资风险：
- 在处理员工不签合同的问题时，用人单位应特别注意避免双倍工资的风险。如果自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，用人单位需要向劳动者每月支付二倍的工资。
四、建议与总结
尊重员工权益：
- 在任何情况下，用人单位都应尊重员工的权益，遵守相关法律法规，确保辞退行为的合法性和合理性。
完善劳动合同管理：
- 用人单位应完善劳动合同管理制度，确保在用工之初就与员工签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
及时咨询专业律师：
- 如果遇到复杂的劳动合同纠纷问题，建议用人单位及时咨询专业律师，以获取专业的法律意见和帮助。
示例说明：假设某公司因业务调整需要辞退一名员工，但该员工拒绝签订新的劳动合同。在此情况下，公司不能直接辞退员工且不给予赔偿。公司应首先与员工协商，了解其不签合同的原因，并尝试解决。如果协商无果，公司可以向员工发出书面通知，要求其在一定期限内签订劳动合同。如果员工在规定期限内仍未签订，公司可以考虑终止劳动关系，但需要按照法律规定支付经济补偿。如果公司无故辞退员工或辞退行为不符合法定程序，则需要支付赔偿金。
总之，在处理员工不签新合同的问题时，用人单位应谨慎行事，确保辞退行为的合法性和合理性，并避免不必要的法律风险。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。