结论：在此情况下，一般应由厂家承担责任，但便利店若存在过错也可能需承担一定责任。

分析如下：

一、厂家责任

1. 产品质量责任：

   • 根据《中华人民共和国产品质量法》的相关规定，生产者应当对其生产的产品质量负责。如果饮料上的生产日期标注为2027年1月22日，这显然是一个错误的标注，可能构成产品质量问题。因为正确的生产日期是消费者了解产品新鲜度和保质期的重要依据，错误的标注可能误导消费者，甚至对消费者的健康造成潜在威胁。
   • 厂家作为生产者，有责任确保产品上的所有信息（包括生产日期）都是准确无误的。如果因生产日期标注错误导致消费者受损，厂家应承担相应的赔偿责任。

2. 欺诈责任：

   • 如果厂家故意标注错误的生产日期以延长产品的销售期限或掩盖产品已过期的事实，这可能构成欺诈行为。根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的规定，经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失。

二、便利店责任

1. 进货查验义务：

   • 便利店作为销售者，有义务对进货的产品进行查验，确保产品符合质量标准且信息准确。如果便利店在进货时未尽到合理的查验义务，导致销售了生产日期标注错误的饮料，便利店也可能需要承担一定的责任。
   • 然而，如果便利店能够证明其已尽到合理的查验义务，且该错误标注是厂家在生产过程中造成的，便利店可能可以免除或减轻责任。

2. 连带责任：

   • 在某些情况下，如果便利店明知或应知产品存在质量问题（如生产日期标注错误）而仍然销售，便利店可能需要与厂家承担连带责任。

三、消费者维权建议

1. 保留证据：

   • 消费者应保留好购买饮料的发票、小票或支付记录等证据，以便在需要时证明购买行为。

2. 与商家协商：

   • 消费者可以先尝试与便利店或厂家协商解决，要求退货、换货或赔偿。

3. 向相关部门投诉：

   • 如果协商无果，消费者可以向当地的市场监督管理部门或消费者协会投诉，寻求帮助和支持。

4. 法律途径：

   • 如果问题仍然无法解决，消费者可以考虑通过法律途径维护自己的权益，如向法院提起诉讼。

后续行动建议：如果您遇到了类似的情况，建议您首先保留好相关证据，然后与便利店或厂家进行协商。如果协商无果，您可以考虑向相关部门投诉或寻求法律帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。