结论：配偶去世后，另一方有权对自己名下的个人财产以及夫妻共同财产中属于自己的份额立遗嘱进行处分，但无权通过立遗嘱的方式处分原本属于去世一方的遗产部分。以下是对此问题的详细分析：

一、对个人财产立遗嘱的权利

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人可以立遗嘱处分个人财产。这意味着，如果涉及的是健在一方的个人财产（如婚前购买的房产、婚后接受明确只赠与给自己的财产等），该方完全有权独立立遗嘱进行处分。例如，若一方在婚前购买了一套房产，那么在其配偶去世后，该方有权通过立遗嘱的方式决定这套房产的继承问题。

二、对夫妻共同财产中立遗嘱的权利

在夫妻关系中，共同财产是双方共同拥有的。当一方去世后，健在的另一方对于夫妻共同财产中属于自己的那一半份额，同样有权立遗嘱进行处分。例如，夫妻婚后共同购买了一套房屋，一方去世后，另一方可以对该房屋中二分之一的份额立遗嘱指定继承人或赠与他人。

三、对去世一方遗产部分的处分限制

如果去世一方没有留下遗嘱，其遗产将按照法定继承进行分配，法定继承人包括配偶、子女、父母等。在此情况下，健在的一方不能通过立遗嘱的方式处分原本属于去世一方的遗产部分。例如，在上述夫妻共有的房屋中，若去世一方未留遗嘱，则该房屋中属于去世一方的二分之一份额将由其法定继承人共同继承，健在的一方无权通过立遗嘱将该部分财产指定由某一人继承。

四、遗嘱的有效性与合法性

为了确保遗嘱的法律效力，遗嘱必须符合法律规定的形式和实质要件。具体来说：

1. 立遗嘱人能力：立遗嘱人必须是完全民事行为能力人，能够清晰表达自己的意愿并理解遗嘱的法律后果。
2. 真实意愿表达：遗嘱必须是立遗嘱人的真实意思表示，不能受到欺诈、胁迫等不正当手段的影响。
3. 合法形式要求：遗嘱的形式必须符合法律的规定，如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名并注明年月日；代书遗嘱应当有两个以上见证人在场见证等。
4. 内容合法性：遗嘱的内容不得违反法律规定或公序良俗，且只能处分立遗嘱人个人的合法财产。

五、实际操作建议

1. 明确财产范围：在立遗嘱前，应明确自己名下的财产范围，确保遗嘱中处分的财产均为个人合法所有。
2. 考虑继承人情况：在选择继承人时，应充分考虑继承人的实际情况和需求，避免引发家庭纠纷。
3. 及时更新遗嘱：如果个人财产状况或继承人情况发生变化，应及时更新遗嘱以反映最新意愿。

在处理这类问题时，如果遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供针对性的法律建议和服务。