遗弃罪确实是由公安机关管辖的。以下是对这一问题的详细解释：

一、遗弃罪的管辖机关

根据我国《刑事诉讼法》的相关规定，刑事案件的侦查由公安机关进行，法律另有规定的除外。遗弃罪作为刑事犯罪的一种，其侦查工作自然由公安机关负责。这意味着，当有人涉嫌遗弃罪时，受害人或相关知情人士可以向公安机关报案，公安机关将依法进行调查取证，并根据调查结果决定是否立案侦查。

二、遗弃罪的构成要件

遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。要构成遗弃罪，需要满足以下几个要件：

1. 主体要件：遗弃罪的主体是对被遗弃者负有法律上的扶养义务而且具有抚养能力的人。
2. 主观要件：遗弃罪在主观方面表现为故意，即明知自己应当履行扶养义务而拒绝扶养。
3. 客体要件：遗弃罪侵犯的客体是被害人在家庭成员中的平等权利，以及年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人的受扶养权。
4. 客观要件：遗弃罪在客观方面表现为对年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，应当扶养而拒不扶养，情节恶劣的行为。

三、遗弃罪的法律后果

如果遗弃行为构成犯罪，将依法追究刑事责任。根据《刑法》第二百六十一条的规定，对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。

四、建议与提醒

1. 及时报案：如果发现有人涉嫌遗弃罪，应及时向公安机关报案，以便公安机关及时介入调查。
2. 收集证据：在报案前或报案过程中，应尽可能收集相关证据，如被遗弃者的陈述、目击者的证言、医疗记录等，以支持案件的调查和处理。
3. 法律援助：如果受害人或相关知情人士在报案或处理案件过程中遇到法律问题，可以向专业律师寻求法律援助，以确保自身权益得到充分保护。

如果您在遗弃罪或其他法律问题上还有疑问或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。