继母去世后，其遗产的继承权问题主要取决于继母是否留下了合法有效的遗嘱，以及继子女与继母之间是否形成了法律上的扶养关系。以下是对这一问题的详细分析：

1. 有遗嘱的情况：

   • 如果继母在生前立下了合法有效的遗嘱，那么她的遗产将按照遗嘱的指定进行分配。这意味着，如果遗嘱中明确指定了某些人为继承人，那么这些人将享有继承权，而其他人则无权继承。
   • 在这种情况下，继子女是否享有继承权，完全取决于遗嘱的内容。如果遗嘱中没有提及继子女，或者明确排除了继子女的继承权，那么继子女将无法继承继母的遗产。

2. 无遗嘱的情况：

   • 如果继母没有留下遗嘱，那么她的遗产将按照法定继承的顺序进行分配。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，法定继承的第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。
   • 在这里，“子女”包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。因此，如果继子女与继母之间形成了法律上的扶养关系，那么继子女将作为第一顺序继承人享有继承权。
   • 扶养关系的形成通常基于继子女与继母共同生活、继母对继子女进行了抚养教育等事实。如果继子女与继母之间没有形成扶养关系，那么继子女将不享有继承权。

特殊情况与建议：

• 如果继母的遗产涉及多个继承人，且继承人之间对遗产分配存在争议，建议通过协商、调解或诉讼等方式解决。
• 在处理遗产继承问题时，建议保留好相关证据，如遗嘱、扶养关系证明等，以便在需要时证明自己的继承权。
• 如果对遗产继承问题存在疑问或不确定，建议及时咨询专业律师，以获取更准确、更全面的法律建议。

举例说明：

• 假设继母在生前立下了遗嘱，指定其亲生子女为唯一继承人，那么继子女将无权继承继母的遗产。
• 假设继母没有留下遗嘱，但继子女与继母共同生活多年，且继母对继子女进行了抚养教育，形成了法律上的扶养关系，那么继子女将作为第一顺序继承人享有继承权。

综上所述，继母去世后其遗产的继承权问题需要根据具体情况进行判断。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。