结论：妈妈在儿子留学期间去探亲并留下打黑工，这一行为本身不会直接对儿子的留学身份或学业造成直接影响，但可能会带来一系列间接的、潜在的风险和后果，这些风险和后果可能间接影响到儿子。
分析：
法律层面：
- 打黑工的法律后果：妈妈在外国打黑工，即未经合法工作许可而从事工作，这违反了当地的劳动法和移民法。一旦被发现，妈妈可能面临被罚款、拘留、甚至驱逐出境的风险。
- 对家庭成员的影响：虽然直接的法律责任通常只追究违法者本人，但在某些情况下，如果妈妈的违法行为被视为对家庭经济状况的严重误导或欺骗（例如，通过非法工作来支持家庭，而实际上这可能违反了签证或移民条件），这可能间接影响到儿子作为家庭成员的某些权益，如签证续签、家庭团聚申请等。然而，这种情况相对罕见，且具体影响取决于当地的法律和政策。
社会层面：
- 声誉影响：妈妈的违法行为如果被公开或传回国内，可能对儿子在国内的社会声誉造成一定影响，尤其是在儿子未来回国发展或寻求就业机会时。
- 心理压力：妈妈因打黑工而面临的法律风险和潜在后果，可能给儿子带来心理压力和困扰，影响其学业和心理健康。
实际影响：
- 经济支持：如果妈妈因打黑工而被处罚或驱逐出境，她可能无法继续为儿子提供经济支持，这可能影响儿子的学业和生活费用。
- 家庭关系：妈妈的违法行为可能导致家庭关系紧张，甚至破裂，这对儿子的成长和心理健康都是不利的。
建议：
- 遵守法律：妈妈应严格遵守当地的法律和移民政策，不要从事任何非法工作。
- 合法途径：如果妈妈希望在国外工作以支持儿子或家庭，应通过合法途径申请工作许可或签证。
- 沟通与支持：妈妈应与儿子保持密切沟通，了解他的需求和困难，并提供合法的支持和帮助。
- 寻求专业帮助：如果妈妈对当地的法律和政策不了解或存在疑问，应寻求专业律师或移民顾问的帮助。
总结：虽然妈妈打黑工的行为不会直接对儿子的留学身份或学业造成影响，但可能带来一系列间接的、潜在的风险和后果。因此，建议妈妈遵守当地法律，通过合法途径支持儿子和家庭。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。