私生子（即非婚生子女）在法律上享有与婚生子女同等的继承权，无论是在法定继承还是遗嘱继承中，这一原则均应得到遵循。以下是对这一问题的详细分析：
一、法定继承中的继承权
在法定继承的情况下，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产的继承顺序中，子女包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女，均为第一顺序继承人。这意味着，非婚生子女在法定继承中享有与婚生子女完全平等的地位。如果被继承人没有留下遗嘱，那么非婚生子女将与其他第一顺序继承人（如婚生子女、配偶、父母）一起，按照法律规定的份额继承遗产。
二、遗嘱继承中的继承权
在遗嘱继承的情况下，被继承人具有自由处分其财产的权利。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百三十三条，自然人可以立遗嘱将个人财产指定由法定继承人中的一人或者数人继承。如果被继承人在遗嘱中明确指定非婚生子女为继承人，那么非婚生子女有权按照遗嘱内容继承相应财产。然而，如果遗嘱中未提及非婚生子女，且遗嘱合法有效，那么遗产将按照遗嘱的分配方式进行，此时非婚生子女可能无法直接依据遗嘱获得遗产。但值得注意的是，如果遗嘱的分配方式违反了法律的强制性规定（如剥夺了非婚生子女的必要份额），那么该遗嘱部分或全部可能无效。
三、实际应用与举例
在实际操作中，处理涉及非婚生子女继承权的案件时，应首先确认是否存在有效遗嘱。若无遗嘱或遗嘱无效，则按照法定继承规则进行，确保非婚生子女作为第一顺序继承人参与遗产分配。例如，老张在婚姻之外与小李的母亲生育了小李（私生子）。老张去世时留下了一笔价值100万元的遗产，且未立下遗嘱。此时，按照法定继承规则，小李作为老张的非婚生子女，与老张的婚生儿子小张享有平等的继承权。因此，小李和小张将作为第一顺序继承人平均分配这笔遗产，即每人可分得50万元。
若有有效遗嘱，则需根据遗嘱内容确定非婚生子女的继承份额或是否享有继承权。例如，如果老张生前立下遗嘱，明确指定遗产全部由小张继承，那么在遗嘱有效的前提下，小李将无法直接依据法定继承规则继承老张的财产。但这种情况并不意味着小李完全丧失了继承权，如果遗嘱存在无效情形（如违反法律强制性规定、缺乏必要形式要件等），小李仍有可能通过法律途径主张自己的权益。
四、法律建议
立遗嘱时明确指定继承人：如果您希望非婚生子女能够继承您的财产，建议在立遗嘱时明确指定他们为继承人，并详细说明继承份额和条件。
确保遗嘱的合法性和有效性：遗嘱的订立必须符合法律规定的形式要件和实质要件，否则可能被认定为无效。因此，在订立遗嘱时，建议咨询专业律师或公证机构，以确保遗嘱的合法性和有效性。
关注非婚生子女的权益保护：无论是在法定继承还是遗嘱继承中，都应关注非婚生子女的权益保护。如果发现遗嘱或继承行为存在违法情形或侵犯非婚生子女权益的情况，应及时向相关部门反映或寻求法律援助。
希望以上分析能够对您有所帮助。如果您有任何关于婚姻家庭或合同纠纷方面的法律问题，都可以直接向我咨询。