结论：卖淫被抓拘留后，公安机关原则上应当及时通知被处罚人的家属，但在某些特定情形下，如身份不明、拒不提供家属联系方式或存在不可抗力因素等，公安机关可能无法及时通知家属。

详细分析：

1. 通知家属的法律规定：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第九十七条的规定，公安机关在决定给予行政拘留处罚时，应当及时通知被处罚人的家属。这是保障被处罚人亲属知情权的重要体现，也是法律程序的一部分。

2. 通知家属的具体方式：

   • 公安机关一般会在二十四小时以内，以书面形式邮寄到被拘留人家属的户籍所在地地址，明确告知家属被拘留人因何种违法行为被处以行政拘留，以及拘留的地点、期限等相关情况。

3. 可以不通知家属的特定情形：

   • 身份不明：如果被处罚人没有携带身份证件，且拒绝提供真实姓名和住址，导致公安机关无法确认其身份，进而无法通知家属。
   • 拒不提供家属联系方式：即使被处罚人的身份明确，但若其坚决不提供家属的联系方式，公安机关也将无法进行通知。
   • 不可抗力因素：如自然灾害等客观条件限制，使得通知家属成为不可能的情况。

4. 法律制裁与程序保障：

   • 卖淫行为本身违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，行为人将面临十日以上十五日以下的拘留，并可能同时被处以罚款。
   • 即便在可以不通知家属的情况下，公安机关仍会依法进行其他必要的程序，如向被处罚人宣告治安管理处罚决定书，并根据具体情况决定是否给予行政拘留处罚。

建议与提醒：

• 卖淫行为不仅违法，还会对个人声誉和家庭造成深远的负面影响。因此，我强烈建议所有人务必严格遵守法律法规，坚决远离任何形式的违法活动。
• 如果您或您身边的人不幸涉及此类案件，请保持冷静并配合公安机关的调查处理。同时，您也可以直接向我咨询相关法律问题，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。

后续行动指导：

• 如果您或您身边的人因卖淫行为被拘留，且您希望了解更多关于案件进展或家属通知情况的信息，您可以向负责该案件的公安机关进行查询。
• 如果您认为公安机关在处理案件过程中存在违法行为或不当行为，您可以向相关部门进行投诉或申诉。