结论：在卖淫被抓的情况下，若决定给予行政拘留处罚，公安机关通常会在合理时间内通知被处罚人的家属，但具体通知时间、方式及是否通知会受到多种因素的影响。

详细分析：

1. 通知的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第九十七条的规定，公安机关在作出治安管理处罚决定，特别是决定给予行政拘留处罚时，有义务及时通知被处罚人的家属。这一规定确保了被处罚人家属的知情权，是执法透明度的体现。

2. 通知的时间与方式：

   • 时间：虽然法律并未明确规定具体的通知时间，但公安机关通常会在作出行政拘留决定后的合理时间内通知家属，这个时间一般会在24小时内，以确保家属能够及时了解被处罚人的情况。
   • 方式：通知方式可以是书面的，如邮寄或当面送达通知书；也可以是口头的，如通过电话、短信或其他能够确认家属知悉的有效方式。具体采用何种方式，会根据实际情况和家属的联系方式来确定。

3. 可能不通知的情况：

   • 拒不提供联系方式：如果被处罚人拒不提供家属的联系方式，公安机关可能无法直接通知家属。
   • 无法联系到家属：若家属无法联系到，如联系方式变更且未告知公安机关，或者家属处于无法接收通知的状态（如出国、失踪等），公安机关也可能无法通知。
   • 妨碍侦查：在极少数情况下，如果通知家属可能会妨碍侦查工作（如涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪等，虽然卖淫行为通常不涉及此类犯罪，但理论上存在这种可能性），公安机关可能会选择暂不通知。

4. 家属的权益：

   • 知情权：家属在接到通知后，有权了解被拘留人的具体情况，包括拘留的原因、地点以及拘留期限等。
   • 探视权：家属还有权探视被拘留人，以了解其近况并提供必要的支持和帮助。具体的探视时间和方式需遵守拘留所的相关规定。

建议与提醒：

• 如果您或您身边的人不幸涉及卖淫被抓的情况，建议保持冷静，及时配合公安机关的工作。
• 家属在接到通知后，应积极行使自己的知情权和探视权，了解被拘留人的情况并提供必要的支持。
• 卖淫行为是违法的，不仅会受到法律的制裁，还会对个人和家庭带来严重的不良影响。因此，建议所有人遵守法律法规，远离任何形式的非法活动。

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