结论：在卖淫被抓并承认后，若当时未被拘留且一个月内有病人需要照顾，可以尝试向公安机关申请暂缓执行拘留或变更强制措施，但能否成功需视具体情况及公安机关的裁量而定。以下从多个角度详细分析：
一、法律背景与规定
《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定：
- 根据该法，卖淫行为属于违法行为，公安机关有权对违法行为人进行行政处罚，包括拘留、罚款等。
- 在作出处罚决定前，公安机关会考虑违法行为的性质、情节以及社会危害程度等因素。
暂缓执行拘留或变更强制措施的可能性：
- 在某些特殊情况下，如违法行为人需要照顾病人、参加重要会议等，可以向公安机关申请暂缓执行拘留或变更强制措施。
- 公安机关会根据具体情况进行裁量，决定是否批准申请。
二、申请暂缓执行拘留或变更强制措施的条件与流程
申请条件：
- 违法行为人需提供充分的证据证明其确实需要照顾病人，如医疗证明、亲属关系证明等。
- 违法行为人需承诺在暂缓执行拘留或变更强制措施期间，遵守法律法规，不再次实施违法行为。
申请流程：
- 违法行为人或其家属应尽快向作出处罚决定的公安机关提出书面申请，说明申请理由及提供相关证据。
- 公安机关会在收到申请后进行审查，并根据具体情况决定是否批准申请。
三、可能面临的法律后果与建议
若申请被批准：
- 违法行为人需严格遵守承诺，在暂缓执行拘留或变更强制措施期间遵守法律法规。
- 若在此期间再次实施违法行为，公安机关将立即恢复执行拘留，并可能加重处罚。
若申请未被批准：
- 违法行为人需接受公安机关的处罚决定，按时执行拘留。
- 在此情况下，违法行为人可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解自身权益及可能的救济途径。
建议：
- 在申请暂缓执行拘留或变更强制措施前，违法行为人应充分了解相关法律法规及申请流程，确保申请材料的完整性和真实性。
- 若对处罚决定有异议，可以在收到处罚决定书后依法申请行政复议或提起行政诉讼。
四、特殊情况下的考虑
- 病人病情的严重性：如果病人病情严重，需要违法行为人全天候照顾，这可能会增加公安机关批准申请的可能性。
- 违法行为人的态度与表现：如果违法行为人之前表现良好，无违法犯罪记录，且对违法行为有深刻认识，这也可能对申请结果产生积极影响。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，因此无法给出绝对的答案。如果您或您身边的人遇到类似情况，建议直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。