核心结论：打人者患有高血压并不必然导致其逃脱拘留，关键在于病情是否严重到不适宜拘留的程度，且需遵循法定程序申请并提供充分医疗证明。以下从行政拘留和刑事拘留两个角度进行详细分析：

行政拘留

1. 提供医疗证明：

   • 若打人者希望因高血压避免被执行行政拘留，首先需向拘留决定机关（如公安机关）提交由县级以上医院出具的诊断证明。该证明应详细记录高血压的病情程度，如血压测量记录、心脏相关检查报告等，特别是要达到三级高血压（收缩压≥180mmHg和/或舒张压≥110mmHg）等严重情况，以证明其健康状况确实不适宜拘留。

2. 申请暂缓执行或不执行拘留：

   • 暂缓执行：依据《治安管理处罚法》第一百零七条，若打人者不服行政拘留处罚决定并申请行政复议或提起行政诉讼，可向公安机关提出暂缓执行申请。此时，高血压病情可作为申请理由之一，但需同时提供担保人或交纳保证金，且公安机关认为暂缓执行不致发生社会危险。
   • 不执行拘留：虽然高血压本身不在《治安管理处罚法》第二十一条规定的不执行拘留情形之列（该条款主要规定了未成年人、初次违法者、老年人、孕妇或哺乳期妇女等特定情形），但若高血压引发了其他严重疾病，如心脏病、脑卒中等，且符合相关不适合拘留的条件，打人者可向公安机关充分说明并提交详细医疗资料申请不执行拘留。

刑事拘留

1. 申请变更强制措施：

   • 根据《刑事诉讼法》第六十七条，若犯罪嫌疑人（即打人者，若其行为构成犯罪）患有严重疾病且生活不能自理，可采取取保候审措施。此时，打人者需提供专业医疗机构出具的证明，证明高血压病情严重到影响生活自理，且取保候审不会对社会造成危害。

2. 进行羁押必要性审查：

   • 犯罪嫌疑人被逮捕后，人民检察院应对羁押的必要性进行审查。若认为不需要继续羁押，可建议释放或变更强制措施。此时，打人者可提交高血压病情相关的医疗材料，说明继续羁押可能对健康造成严重危害，请求检察院建议变更强制措施。

重要提示

• 诚实合作：面临拘留时，打人者应如实向司法机关说明健康状况，并配合调查处理。试图通过不正当手段逃避拘留是非法且不道德的。
• 遵守法律程序：无论申请暂缓执行、不执行拘留还是变更强制措施，均需遵循法定程序，并提供充分的医疗证明。
• 及时咨询：若打人者或其家属对法律程序有疑问或需要进一步的法律帮助，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供详细的法律建议。

综上所述，高血压等健康问题虽可作为申请避免拘留或变更强制措施的考虑因素，但并非绝对理由。关键在于病情的严重程度以及是否遵循了法定的申请程序。